ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption scienti queMATHEMATIQUES IAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.Dans tout ce problŁme, la lettre n dØsigne un entier supØrieur ou Øgal à 2 et on note [[1;n]] l ensemble f1;2;:::;ng.On rappelle qu’une permutation de [[1;n]] est une bijection de [[1;n]] sur lui-mŒme. Par ailleurs, on note S el nsemble des permutations de [[1;n]] ;n M (R) el space vectoriel des matrices carrØes d ordre n à coe¢ cients rØels ;n M (R) el space vectoriel des matrices à p lignes, q colonnes à coe¢ cients rØels ;p;q m Øl lØment gØnØrique d une matrice M, c’est- -dire le rØel situØ à l intersection de la i-iŁme ligne et de lai;jj-iŁme colonne de M ;t M la transposØe d’une matrice M.Lorsque appartient àS , on appelle matrice de la permutation la matrice deM (R) notØe P dont le termen n 2gØnØrique p ...
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Dans tout ce problème, la lettrendésigne un entier supérieur ou égal à2et on note[1; n]]lensemblef1;2; :::; ng. On rappelle quune permutation de[1; n]]est une bijection de[1; n]]Par ailleurs, on notesur lui-même. Snlensemble des permutations de[1; n]]; Mn(R)lespace vectoriel des matrices carrées dordrenà coe¢ cients réels ; Mp;q(R)lespace vectoriel des matrices àplignes,qcolonnes à coe¢ cients réels ; mi;jlélément générique dune matriceM, cest-à-dire le réel situé à lintersection de lai-ième ligne et de la j-ième colonne deM; t Mla transposée dune matriceM. Lorsqueappartient àSn, on appelle matrice de la permutationla matrice deMn(R)notéePdont le terme 2 génériquepi;jvérie :8(i; j)2[1; n]]; pi;j= 1si(i) =jetpi;j= 0sinon. 0 1 0 1 0 @ A Par exemple, pourn= 3et2G3dénie par(1) = 2; (2) = 3; (3) = 1,P= 00 1. 1 0 0 On sintéresse dans un premier temps à lensembleEndes matricesMappartenant àMn(R)vériant la propriété n n X X suivante :8i2[1; n]];8j2[1; n]]; mi;k=mk;j. k=1k=1 Dans ce cas, leur valeur commune sera notée!(M).