Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Réflexions d'un espace euclidien Dans ce qui suit, E est un espace euclidien de dimension n. Par définition, une symétrie orthogonale est une symétrie par rapport à un sous-espace et parallèlement à son orthogonal. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Pour tout vecteur ??u ? E, notons ??u1 et ??u2 les projetés orthogonaux respectifs de ??u sur F et F?. E = F ? F? ??u = ??u1 + ??u2 Soit s la symétrie orthogonale par rapport à F . Alors par définition : E = F ? F? s(??u ) = ??u1 ? ??u2 En particulier ??u + s(~u) = 2 ~u1. Donc si p est le projecteur orthogonal sur F nous avons s = 2p? IdE . Un endomorphisme s de E est une symétrie orthogonale si et seulement si s ? O(E) et s ? s = IdE . Dans ce cas E = ker (s? IdE) ? ?? ? F ? ker (s+ IdE) ? ?? ? F? et s est la symétrie par rapport à Ker (s? IdE) parallèlement à l'orthogonal Ker (s+ IdE). Définition. On appelle réflexion toute symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan (i.e. un espace de dimension n? 1.
- vecteur unitaire orthogonal
- g?
- ?1 ?1
- ??u ?
- démonstration du lemme
- ker
- espace r4
- symétrie orthogonale
- ???x ?