Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
MA01 Universite d'Orleans Analyse Hilbertienne et de Fourier 2011-12 Feuille d'exercices: transformation de Fourier (1) Exercice 5.1. a) Soit (a, b) ? R2. Montrer que L2 (a, b) ? L1 (a, b), mais que la reciproque est fausse. (On pourra utiliser la fonction f (x) = 1√ x?a ). b) Montrer qu'il n'y a pas de relation d'inclusion entre les espaces L1 (R) et L2 (R). (On pourra utiliser les fonctions e ?x2√ |x| , 1√ x2+1 , e?x 2 ). Exercice 5.2. Soit f : R? C integrable au sens de Lebesgue. On notera F (f) ou f? la transformee de Fourier de f definie par F (f) (?) = f? (?) = ∫ R f (x) e?ix?dx . On pose g (x) = f (?x). Montrer que a) F (g) (?) = F (f) (??) b) F (g) = F (f) c) F (Ref) (?) = 12 ( f? (?) + f? (??) ) et F (iImf) (?) = 12 ( f? (?)? f? (??) ) e) F (f + g) = 2Ref? et F (f ? g) = 2iImf? On pose h (
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