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Publié par | profil-mupheg-2012 |
Publié le | 01 octobre 2007 |
Nombre de lectures | 22 |
Langue | Français |
Extrait
Universit´ de Nancy I
Probabilit´s et Mod´lisation Stochastique
Examen du 13 octobre 2007
dur´e 3h
Les documents papier (livres, polycopi´s, notes manuscrites,.. .)sont autoris´s.
Les calculatrices respectant la r`glementation (dimensions inf´rieures ` 15 cm par
20 cm, alimentation autonome, pas d’imprimante) sont autoris´es.
Tout instrument de communication, qu’il en soit fait ou non usage, est interdit.
Master 1
Toutes les variables al´atoires consid´r´es dans ce probl`me sont ` valeurs
r´elles et d´finies sur un mˆme espace de probabilit´ (Ω,F,P). L’op´rateur d’esp´rance
est not´E. L’expression “presque sˆrement” est parfois abr´g´e en p.s., tandis que
2
la convergence en moyenne quadratique est appel´e convergence dansL. Tout
r´sultat donn´ dans l’´nonc´ peut ˆtre admis pour traiter les questions suivantes.
– I –
X
(γp)p∈Zest une suite de r´els positifs tels queγp<+∞.
p∈Z
Soit (Zn)n≥0une suite de variables al´atoires de carr´s int´grables telles que, quels
que soient les entiers naturelsietj, on ait
E[Zi] = 0,E|ZiZj| ≤γi−j.
P
n
On poseU0= 0 et, pourn≥1,Un=Zk.
k=1
1. Montrerque, pour toutn≥0 etk≥0, on a
2.
n+k n+k
X X
2
E[(Un+k−Un) ]≤γi−j.
i=n+1j=n+1
En d´duire qu’il existe une constanteMtelle que, pour toutn≥0 etk≥0,
on a
2
E[(Un+k−Un) ]≤M k.
(a) Pourε >0, ´tablir la convergence de la s´rie de terme g´n´ral
2
un=P(|Un|> εn).
2
U2
n
(b) Prouverque la suite (2)n≥1converge presque sˆrement vers 0.
n
3. Onpose, pourn≥1,
2 2
Vn= max{|Uk−Un|:k <n <(n+ 1)}.
2
(a) Soitε >0. Justifier l’in´galit´
2
P(Vn> εn)≤
2
(n+1)−1
P
2
P(|Uk−Un|> εn).
2
2
k=n+1
1
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