EXERCICE I Donnerlesre´ponsesa`cetexercicedanslecadrepr´evua`lapage3
Onseplacedansleplancomplexerapport´eaurep`ere(O;u,~v~)rid,e´mronohtrot.ec Soient les pointsAetB:d’affixes respectives zA= 1zB= 3−2i Pour tout complexez, on pose : ′ z=iz+ 1−i ′ ′ Onconside`relafonctionFuqtouti,`atpoinMd’affixez, associe le pointMd’affixez.
Danscettequestion,onconside`reunpointMeren,diff´tdeA, donc d’affixez6= 1. ′ z−1 De´terminerlecomplexeZ=. z−1 D´eterminerlemodule|Z|et un argumentarg(Z)deZ. −−→−−→ ′ ′ ExprimerAMen fonction deAMD.e´glel’aninerterm(AM , AM).
End´eduirela caract´eristiques.
nature
de
la
fonction
F.
On
pre´cisera
tous
ses
e´le´ments
′ ′ D´eterminerlesaffixeszAetzBdes imagesAetBparFdes pointsAetB. ′ ′ ′ SoitCle point dont l’image par la fonctionFest le pointCd’affixezC=−3−3i. ′ De´terminerl’affixezCdu pointC. Justifier le calcul. ′ ′ Dessiner les trianglesABCetACBsur la figure deI1.
′ Onde´signeparIle milieu du segment[BC].
′ D´eterminerl’affixezIdu pointI. Dans le triangleABCane´te,dirlamraceDissue deA. −→−−→ ′ De´terminerlesaffixesdesvecteursAIetCB.
D´eterminerlimf(x)rlar´eponse.J.suitefi x→+∞ De´terminerlimf(x).Jrlfietiusopsnrae´.e x→−∞ Onende´duitqueCadmet, au voisinage de−∞, une asymptoteΔdont on donnera unee´quation.
Une des deux courbesC1etC2ontincse´rpereofaletneesdalrurugfi´nissseef. Laquelle?Justifiervotrere´ponse.
D´eterminerunee´quationdelatangenteT0`lacauobreCau point d’abscisse0. TracerT0sur la figure deII3.
La courbeCcoupe l’asymptoteΔen un pointE.
D´eterminerlescoordonne´es(xE, yE)du pointEseaccllu.astliellr.D´e Z ln(4) SoitJ’lrape:led´efiniint´egraJ= (3−f(x))dx. 0 Calculer la valeur deJen justifiant le calcul.
Sur la figure deII3, placer le pointEet hachurer la partie du plan dont l’aire, exprime´eenunite´sd’aire,vautJ.
GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES
II1a
II1b
II1c
II2a
II2c
II2d
II3
II4
II5
II6a
II6b
REPONSES A L’EXERCICE II
x x limf(x+) = ∞carf(x) =e(e−4) + 3 x→+∞ x etlime= +∞ x→+∞ 2x x limf(x3) = carlime= 0etlime= 0 x→−∞x→−∞x→−∞
Δ :y= 3
′2x xx x f(x) = 2e−4e= 2e(e−2)
x ′ f(x)
f(x)
−∞
3
xM= ln 2
T0
C 1
:y=−2x
−
ln 2 0
−1
II2b
+
+∞
+∞
x g(x) = 2e
ln 2 2 ln 2 yM=f(ln 2) = (e)−4e+ 3 = 4−8 + 3 =−1
T0
~ j
O
~ i
E
C 2
C=C 1
car
le minimum est−1
et non−2
xE4= ln yE= 3car 2xx x x x f(xE) = 3⇔e−4e+ 3 = 3⇔e(e−4) = 0⇔e= 4⇔x= ln 4
9 J= 2
D’ou`
Z Z ln 4 ln 4 2x x carJ= (3−f(x))dx= (−e+ 4e)dx 0 0 ln 4 1 1 9 2x x J=−e+ 4e=−8 + 16 +−4 = 2 2 2 0
Utiliser la figure deII3.
GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES
5/9
EXERCICE III Donnerlesre´ponsesa`cetexercicedanslecadrepre´vua`lapage7
De´terminerlaprobabilite´peenefoncunepoup´q’ue.´eund’nneauasutuobnoitlpen Exprimer, en fonction detbabiapro,le´tilP(T > t)uctaeaiunn’eep´ouepnu’uq d´efaillancependantta.see´nn J’aiachet´eunepoup´ee.OnnoteAuned´efaillancel’v´´eement:enpal“´puo’neecuaa pendantuneanne´e”etBnaeciall´dfeucenantpendtnemene´ve´’lau’aen´euppola:“ trois ans”. De´terminerlesprobabilite´sP(A)etP(B)sed´sve´enementAetB. Sachantquelapoupe´efonctionneparfaitementauboutd’unan,quelleestlapro babilit´ePA(B)buaedtuoortenasionefiocteennorncqeualoppue´reeltsfii?suJ calcul. Lefabricantgarantitlespoupe´espendantunanets’engagea`rembourserlespoupe´es de´fectueuses. −2 Donnerunevaleurapproch´ee`a10pudscruoe`rppoup´eesentagedee´se.erbmuosr Quelledur´eedegarantiemaximalet0devrait proposer le fabricant pour qu’il ne rembourse pas plus de8%´peevsneudse?deousp Calculerlavaleurexacte,exprime´eenann´ees,det0el´rfiireat.tselustJu. Donnerunevaleurapproch´ee,exprime´eenmois,det0. Uncommerc¸antache`teunlotdetroispoup´eesetlefabricantoffre,pourchaque poupe´e,unegarantied’uneanne´e. SoitXariableal´eatoirlvambnodereuppoes´eperese´ratneeltneuosrerbmuscre´se lot. Exprimer, en fonction depniefin´edIII1a´eitilab,obprlaP(X= 3)que les trois poupe´esnefonctionnentplusauboutd’unan. Exprimer, en fonction depbilit´e,laprobaP(X= 1)siortsedsee´puopnuseueelq’u ne fonctionne plus au bout d’un an. Compl´eterletableaudonnantlaloideprobabilit´edeX.eLpsorabibil´tesseront exprim´eesenfonctiondep. Derterminer, en fonction depe´htamecnare´psel’,matiqueE(X)de la variableX.