•On dit quefestcontinuesi ses composantesxetyle sont.
Propri´et´es
2 Proprie´te´sSoientfetgdeux fonctions deIdansRacilnoitlereppa’O.is`dcnnohdeIdansR −→−→ telle queh:t7→f(t).g(t). Alors, sifetgelbavire´dtnoss,hl’est aussi et: 0 0 0 0 0 0 0 ∀t∈I, h(t) =x(t)x(t) +x(t)x(t) +y(t)y(t) +y(t)y(t) =f(t).g(t) +f(t).g(t) f g f g f g f g
2
0 0 0 ∀t∈I, f(t) = (x(t), y(t))
•On dit quefestbaelrevi´dsi ses composantes le sont et :
Remarque)eepe`rtniettu’sntl’ouvearamarcpngise´d(sneibtnapabeurcoreetm`raedalterepUr`ern mani`eresuivante:onvoitleparame`tretcomme le temps et on imagine un mobile qui au tempst,est`a la position (x(t), y(t)).
2.2 Etude locale 2.2.1G´en´eralite´s
De´finitionSoit (I, fble.Soitcparun)rte`maraavire´deM0un point de la courbe. 0 •On dit queM(t0) estilugre´ersif(t0)6= 0
0 •On dit queM(t0) eststationnaireou singulier sif(t0) = 0.
RemarqueOn parle deintrpolier´egucomme abus de langage. On devrait dire commeerape´magart r´egulierdupoint.
2.2.2
Tangentes
D´efinitionSoit (I;f)unarcparam`ets,ertioM(t0) un point de cet arc. −−−−−−−−−−−→ S’il existepourh∈R, des vecteurs~u(h)riae´nilcoa`seM(t0)M(t0+h) tels que les vecteursu~(h) aient une limite non nulle quandh→0, alors on dit que la droite Δ passant parM(t0d)arep´eigir limt→t0u~(h) est unetangente’la`ecranM(t0).
RemarqueDans ce cas, on dit que la tangente est la droite limite des droites (M(t0)M(t0+h)) en supposant que pourh→0, M(t0)6=M(t0+h).
De´monstrationOn noteh(t) = (x(t), y(t)) −−−−−−−−−−−→ M(t0)M(t0+h)x(t0+h)−x(t0)y(t0+h)−y(t0)0 0 =~u(h) = (,m).Enpass`tnalalatimiil,et→t0u~(h) = (x(t0), y(t0)) = h h h 0 f(t0).
4
Me´thode:EtudedestangentesenunpointstationnaireSoitC: (x(t), y(tnu))uoce.peeeb´rrmtaer`a Onchercheune´eventuelletangenteenM(t0)us.ernnaiatio´estppos y(t0+h)−y(t0)−−−−−−−−−−−→ •Six(t0+h)−x(t0)6= 0, on peut prendreu~(h) = (1,)a`eria´einol,cM(t0)M(t0+h). Si x(t0+h)−x(t0) y(t0+h)−y(t0) limh→0existe et est finie (l∈R) , alors limh→0~u(h) = (1, l). x(t0)−x(t0) Ilyaalorsunetangentedirige´epar(1, l).
•onemd´t,t´ul´etrmerueire.tneOnpeututiliserasuiselaftiusvina 0 y(t)y(t0+h)−y(t0) Si limt→t00=l∈R, alors limt→t0=l. x(t)x(t0+h)−x(t0)
D´efinitionSoitC: (x(t), y(t)), t∈R.uocenparaurber´eem´et dit queCadmet une branche infinie au voisinage det=t0∈Isi:
limkx(t), y(t)k= +∞ t→t0
SoitDOn dit queune droite passant par l’origine. Cdamet la droiteDpour asymptote si la droite (OM(t)) tend versDquandt→t0. SoitDune droite. On dit queDest une asymptote `aCquandtt0siCadmet une branche infinie ent0etd(M, D)→0.
Me´thode:Etudedesbranchesinfinies
Dans ce qui suit,t→t0.
•Si|x(t)| →+∞ety(t)→l∈R, alors il y a uneasymptote horizontaleqe´’itauondy=l.
•Si|y(t)| →+∞ety(t)→l∈R, alors il y a uneasymptote horizontaleitnoqeaud’´x=l.