TP n°2 mathématiques spécialité: Les nombres de Fermat Soit n un entier naturel. n 2 F F=2 On posen1. Chacun des nombresnest appelé nombre de FERMAT. Objectif:étudier deux propriétés arithmétiques de ces nombres.
Remarque:le logiciel choisi doit disposer de fonctions arithmétiques permettant de calculer le reste d'une division euclidienne ainsi que le PGCD de deux entiers. F Sur EXCEL, on est confronté à un problème d'affichage du fait que les nombresnsont très vite grands. Il apparaît judicieux d'utiliser un logiciel de calcul formel en arithmétique: Xcas qui présente l'avantage de faire des calculs y compris avec les chiffres qui ne sont pas affichés.
Partie A: A l'aide du tableur Xcas: F 1. Calculdes 20 premiers entiersn. Garder la ligne 0 pour les titres. Dans la colonne A, afficher les entiers n de 0 à 19. Pour cela, entrer 0 dans la cellules A1 puis la formule = A1+ 1 dans A2, placer le pointeur sur le coin inférieur droit de la cellule, et en maintenant le bouton gauche de la souris enfoncé, tirer vers le bas jusqu'à A21. F Dans la colonne B, entrer dans B1 la formule permettant de calculer0, puis recopier vers le bas. F 2. Pourles nombresnaffichés, conjecturer le chiffre des unités selon n. F 3. Pourobtenir une conjecture au-delà des nombresnaffichés, afficher dans la colonne C, le reste de la F division euclidienne denpar 10. Formuler votre conjecture. Les nombres de Fermat ont 7 comme chiffre des unités, excepté les deux premiers. F F 4. Dansla colonne D, afficher le PGCD deet .Que pouvez-vous conjecturer? n n1 Deux nombres de Fermat consécutifs sont premiers entre eux.
Partie B: partie mathématique ∀n∈ℕ, F=F−1²1 1. Démontrerque, . n1n Calculs non détaillés. n , n2F≡7[10] 2. a)Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel:n. 2 2 F=10×17F≡7[10] F=21=17 Initialisation:2et2donc2. F≡7[10] Hérédité: on suppose qu'il existe un rang n (supérieur à 2) pour lequeln. Démontrons queF1est n lui aussi congru à 7 modulo 10. F≡7[10] D'après l'hypothèse de récurrence,n. On soustrait 1. F−1≡6[10]−1≡1[10] −1²≡6[10]3 D'oùncar .On élève ensuite au carré:Fncar6≡6[10] . On F−1²1≡7[10]F ajoute 1:ndonc on vient de prouver quen1est lui aussi congru à 7 modulo 10. 7[ Donc par récurrenFn≡10]∀n∈ℕ, n2 ce, . b) Qu'a t-on démontré? Le chiffre des unités des Fnest donc bien 7 (sauf pour les 2 premiers) n∈ℕ 3. . F F a) d est un diviseur commun ànetn1. Démontrer que d divise 2. = ∈ℤ F FkF , =d k∈ℤet F' , k 'd k d est un diviseur commun ànet àn1<=>n n1. 1²1⇔F2F=2²2dk=2dk '−dk²2k=2 ∀n∈ℕ, F=F−n1−Fn² ndoncdk '−dkc-a-d Or n1n K=k '−dk²2kK∈ ℤ . Il vient que d divise 2 en posant, . FF b) En déduire queet1sont premiers entre eux. nn F F Un diviseur commun ànetn1divise 2 donc d = 1 ou d = 2. F F≡7[10]F Supposons d = 2 doncnest pair. Orndonc lesnsont impairs et ne sont donc pas divisibles par 2. On arrive à une contradiction donc d = 1. FF Le seul diviseur positif commun ànetn1est 1. Ils sont donc premiers entre eux.
Partie C: complément p T=21 p est un entier naturel. On posep. T Montrons que sipest un nombre premier, alors c'est un nombre de Fermat.
2p p S=1xx...−1x 1. Pourx réel, si x est différent de - 1, calculer la somme: 0 1p S=−x −x −x²...−x . S est donc la somme de p +1 termes d'une suite géométrique de raison p1 1−−x −xS= d'où1x(*) 2n1 ∀ ∈ℕx1 2. Démontrerquex , n, x1est divisible par. 2n1 1−−x2n1 2n1 p=2nS= −x =−x Si p est pair, on peut poser. Donc dans (*). Or. 1x 2n1 x12n1 S=x=S×x1 D'où <=>avec S somme d'entiers relatifs. x1 2n12n1 x=k×x1k=S∀x , n∈ℕ, x1x1 D'où avec(entier relatif). Il vient queest divisible par. pp 2k2 ∀ k , p∈ℕ² 3. Endéduire que, si k est impair, alors2 1est divisible par21. Si k est impair, k = 2m + 1, m entier. Application directe de la 2. 2n1 ∀x , n∈ℕ, x1x1 De la question précédente,est divisible par. p pp 2 22n1 2 Posonsx=2, d'où en remplaçant,2 1e isiblepar21. st div pp 2k2 k=2n1 Il suffit de voir ici que, donc si k est impair, alors2 1est divisible par21. 4. Conclure: Conjecture (faite au moyen d'Xcas en rajoutant une colonne pour les nombres Tp): les nombres Tp sont des nombres de Fermat à chaque fois que p est une puissance de 2. Soit Tp un nombre premier. Prouvons que p doit être une puissance de 2, c-a-d démontrons qu'il existe un entier k naturel k tel que p = 2 .
Preuve par l'absurde: Supposons que p ne soit pas une puissance de 2, donc il est forcément un multiple d'un nombre impair. En conséquence, p admet donc un diviseur impair supérieur ou égal à 3. p=2n1, p'p '∈ℕ . 2n1pp '2n1p2n1p Tp=21=2' 12' 1 D'où .Or estdivisible par2 1, qui est différent de 1 et de lui-même. Donc Tp n'est pas premier (on arrive à une contradiction). D'où: p doit être une puissance de 2.
n 2 = => Donc si Tp est premier,T2 1, c'est donc un nombre de Fermat.