′′′6′⋆⋆′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Nombres complexes `emes Notations alg´ebrique et exponentielle Racines n Exercice 1 : Parmi les assrtions suivantes, lesquelles sont vraies?? Exercice 11 : R´esoudre dans C les ´equations suivantes 5 ! ! 1. z = 1. n n n n Y Y X X √ 7 1. Re a = Re(a ) 1. Im a = Im(a ) 2. z = 1+i 3. i i i i i=1 i=1 6 i=1 i=1 3. z z¯= 1. 1 z¯ 2. si z = 0, alors = 2. Re(i z) =−Im(z) 2 z |z| Exercice 12 : D´eterminez les racines carr´ees de 9+40i et les racines quatri`emes de−7−24i. “ ” z Imz 3. si λ∈ R, Im(λz) = λImz 3. Im = w Imw Exercice 13 : 1. Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes Exercice 2 : Mettez sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants : √ „ « 2 1+i 3 1−i 3+6i 1+i 1−7i 2+5i 2−5i u = √ , v = √ z = , z = + , z = + . 1 2 3 1−i 3 1+i 3 3−4i 2−i 4+3i 1−i 1+i 6 4 2. R´esoudre dans C les ´equations z = u et z = v. Exercice 3 : Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes : √ √ 3 4 n−1 Y 3 (1+i) (1−i) ( 6−i 2)(1+i) 2iπ/n k n−1 z = , z = + , z = . 1 2 3 Exercice 14 : Soit n≥ 2. On note ω = e . Montrez que ω = (−1) . 2 1−i 1−i (1−i) 1−i k=0 Exercice 4 : Soient θ,θ deux nombres r´eels. ´ Equations polynomiales θ+θ iθ iθ i iθ 2 1. Transformez e +e en factorisant par e sous la forme ρe ou` ρ et θ sont des r´eels. Exercice 15 : R´esoudre dans C les ´equations suivantes 2. En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexes 2 1. z −(2+3i)z+3i−1 = 0. iπ/3 4iπ/3 z = 1+e , z = e −1 1 2 6 3 2.
•Montrer quez”autoconest”e´ugujz=z; ¯ •Montrer qu’un argument dezlomodu`u0anorgsectπ(pourz6= 0). n Ici, (1 +i)n=„√2eiπ4«= (√n)neinπ4. En particulier, comme son module est strictement positif,nouspouvonsutiliserlatroisiemecaracte´risation,ilvient: ` (1 +i)n∈R⇐⇒arg(1 +i)n≡0 [π]⇐⇒n4π≡0 [π] ⇐⇒n≡0 [4] Ainsi, (1 +i)nest reelsi et seulement siil existe un entierk∈Ztel quen= 4k. En conclusion, ´ N(1 +i)ne´leestrsi et seulement sinest multiple de 4.N
Exercice 3 .— Exercice 7 .—Soitz∈C. √2 z1 2= 3eiπ4z+z¯ =|z⇒|⇐z2x==xp+yix2+(yx2y)∈R2 z2= 2√2e5iπ48<xz=≥x+iy(x y)∈R2 z3= 2√2e−iπ6⇐⇒:4x2=0x2+y2 Exercice 4 .—⇐⇒<8zy2==x3+02iy(x y)∈R2 eiθ+eiθ′ cos= 2θ−2θ′ei12(θ+θ′):x≥x 1 +eiπ3√3eiπ68z=x+iy(x y)∈R2 = ⇐:<y=√3xouy=−√3x e4iπ3−1 =√3ei7π6⇒x≥0 N Ainsi, le lieu d´ it r les pointsM(z-dmideuxesitroiondesdetlar´eun)sexy≥0=√3xet ecr pa Exercice 5 .— 1. 1 +i√3 = 2epi3, 1−i=√2e−iπ41.’Du1o`+−i√i=3√2e7iπ12. Par laformule de Moivre,xy=≥0−√3x.N z1= (√2)n il s’ensuit quee7inπ12Exer1c.icIel8es.t—clair que sizest 1 oui, les pointsI MetM′oslatne’tneruexign´esvuquedeuxd 2. On remarque que`√3−1´+i`1 +√3´et`√3−1´−i`1 +√3´d´esormaissqnuoectnoofdnsuS.puopossnonsontcgujue´.saPlrseziffedre´edenttd1ennutrbmomocexelpese propri´t´esdelaconjugaison,ilenre´sultequeleurspuissancesnmei`ese.uge´noujsscintausoi. En ce cas, les pointsI MetM′se´ngilontassi et seulement siles vecteursI−M→etI−−M→′ e Ainsi,sontcoline´aires,cequisetraduitenaffixespar z2=“`√3−1´+i`1 +√3´”n+`“√3−1´−i`1 +√3´”nI MetM′eossign´ntal⇐⇒les vecteursI−M→etI−−M→′seriean´licontso = 2Re»`“√3−1´+i`1 +√3´”n–⇐⇒⇒⇐ii(zz−−−ii1)∈(z¯R+i)∈R z Or ⇐⇒Re(z−1)(z¯ +i) = 0 `√3−1´+i`1 +√3´=√3 +i−1 +i√3 = 2(eiπ6+eiπ3Ecrivonsz=x+iynenotationalg´ebriivlI.euqtne = 4 cos(−π4)ei5π12= 2√2ei5π12(z−1)(z¯ +i) =`(x−1) +iy´`x−i(y−1)´=ˆx(x−1) +y(y−1)˜+iˆy(x−1) +x(y−1)˜ D’apr`eslesformulesdeMoivre,ils’ensuitqueParcons´equent,lespointsIl,MetM′sontlagi´nsesi et seulement siiertpaesltesellee´rs z2= 2Re`»2√2´nei5nπ12–= 2`2√2´nso51cn2πigamiesnairxetydezv´etnirefix2+y2−x−y= 0 N Onreconnaiticil’´equationducercledecentreΩ(21radeet2)1nyo√.22 Exercice 6 .—onosipsdesdparmeelsnombilesmolpercsn,uoxesePrcouacarert´resinselrbmo´rseConclusion :le lieu des pointsMd’affixeszvesacuqnosiilate´ngId’affixeietM′d’affixe plusieursstrate´gies.iz(Ω21tneredeccrelleceestnyoradeet2)1√22. •Montrer que la partie imaginaire dez ;est nulle