GÉNÉRALITÉS SUR1 LES FONCTIONS1 Ensembles de nombresDéfinition 1 L’ensemble {0;1;2;...} est appelé ensemble des entiers naturels et se noteN.L’ensembleZ˘ {...;¡2;¡1;0;1;2;3;...} est appelé en des entiers relatifs et se noteZ.Exemple :3 appartient à l’ensembleN. On note 32N. En revanche,¡2 n’appartient pas àN, on note¡2ÝN.Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui appartiennent àN, àZ ?rp p17 81 3 16a˘¡15 ; b˘ 7 ; c˘ ; d˘ ; e˘ ; f ˘ 2004 ; g˘¡7,1 ; h˘¡ 16 ; i˘ ; j˘ 7.5 9 19 981Les nombres deN sont b, d (car ˘ 9) et f .9 pLes nombres deZ sont a, b, d, f et h (car¡ 16˘¡4).aDéfinition 2 Un nombre est appelé nombre décimal s’il peut s’écrire sous la forme où a2Z et n2N.n10L’ensemble des nombres décimaux se noteD.Exemple :3 ¡2 ¡353˘ ;¡2˘ ;¡3,5˘ sont des nombres décimaux.1 1 10Parmi les nombres précédents, quels sont ceux qui appartiennent àD ?17 34 ¡71Les nombres deD sont a, b, c (car ˘ ), d, f , g (car¡7,1˘ ) et h.5 10 10Définition 3 Un nombre est appelé nombre rationnel s’il peut s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs.L’ensemble des nombres rationnels se noteQ.Exemple :3 ¡2 ¡35 1 ¡23˘ ;¡2˘ ;¡3,5˘ ; ; sont des nombres rationnels.1 1 10 3 7Parmi les nombres précédents, quels sont ceux qui appartiennent àQ ?r9 4Les nombres deQ sont a, b, c, d, e, f , g , h et i (car ˘ ).16 3Définition 4 Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels. Ce sont les nombres irrationnels. L’ensembleformé par ces nombres et leses rationels est ...
Dfinition 1L’ensemble{0; 1; 2; . . .}est appelÉ ensemble des entiersnaturelset se noteN. L’ensembleZ={. . . ;−2;−1; 0; 1; 2; 3; . . .}est appelÉ ensemble des entiersrelatifset se noteZ.
Exemple : 3 appartient À l’ensembleN. On note3∈N. En revanche,−2n’appartient pas ÀN, on note−2∉N. Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui appartiennent ÀN, ÀZ? r 17 81 3p16p a= −15; b=7; c=; d=; e=; f=2004; g= −7,1; h= −16; i=; j=7. 5 919 9 81 Les nombres deNsontb,d(car=9) etf. 9 p Les nombres deZsonta,b,d,feth(car−16= −4).
a Dfinition 2Un nombre est appelÉ nombredÉcimaloÙ as’il peut s’Écrire sous la forme∈Zet n∈N. n 10 L’ensemble des nombres dÉcimaux se noteD.
Exemple : 3−2−35 3=;−2=;−3,5=sont des nombres dÉcimaux. 1 110 Parmi les nombres prÉcÉdents, quels sont ceux qui appartiennent ÀD? 17 34−71 Les nombres deDsonta,b,c(car=),d,f,g(car−7,1=) eth. 5 1010 Dfinition 3Un nombre est appelÉ nombrerationnels’il peut s’Écrire comme quotient de deux entiers relatifs. L’ensemble des nombres rationnels se noteQ.
Exemple : 3−2−35 1−2 3=;−2=;−3,5=; ;sont des nombres rationnels. 1 110 3 7 Parmi les nombres prÉcÉdents, quels sont ceux qui appartiennent ÀQ? r 9 4 Les nombres deQsonta,b,c,d,e,f,g,heti(car=). 16 3 Dfinition 4Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels. Ce sont les nombresirrationnels. L’ensemble formÉ par ces nombres et les nombres rationels est appelÉ ensemble des nombresrÉels. On le noteR.
Thorme 1 Tout lment deNappartient galement ÀZ. On dit queNestinclusdansZ, c’est-À-dire queNest une partie (ou un sous-ensemble) deZ. On noteN⊂Z.
Thorme 2 a De mme, tout entier relatif est un dcimal cara=, tout nombre dcimal est rationnel car il s’crit sous forme 1 fractionnaire et tout nombre rationnel est un nombre rel. Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
GÈNÈRALITÈS SUR LES FONCTIONS1
Seconde 5 - 2010/2011
Illustration :
N
Z
D
Q
R
2 Intervalles
Soientaetbdeux rels tels quea<b.
L’ensemble des relsx vrifiant a6x6b
a6x<b
a<x6b
a<x<b
x6b
x<b
a6x
a<x
se note
[a;b]
[a;b[
]a;b]
]a;b[
]−∞;b]
]−∞;b[
[a;+∞[
]a;+∞[
−π
0,4√ 5 2 −3 9 0 1 −7−5,7 11 − √ 3−3 √ 7
a
a
a
a
a
a
et se reprsente
b
b
b
b
b
b
Dfinition 5Soient I et J deux intervalles deR. • L’ensembledes nombres rÉels appartenant À la fois À Iet À J est appelÉintersectiondes intervalles Iet J et se noteI∩J. • L’ensembledes nombres rÉels appartenant À Iou À J, (Éventuellement aux deux) est appelÉrÉuniondes intervalles I et J et se noteI∪J.
Exemple : Soit I=[−2 ; 1], J=[0 ; 4[, K=[2 ;+∞[et L=[0 ; 1[. DÉterminer I∩J ,I∪J , K∩L et K∪L. I∩J=[0 ; 1]I∪J=[−2 ; 4[ K∩L=∅K∪L=[0 ; 1[∪[2 ;+∞[
2COURS 1
3 Fonctions
Seconde 5 - 2010/2011
Dfinition 6Unefonctionest un procÉdÉ qui permet, À partir d’un nombre de dÉpart, d’obtenir un unique nombre d’arrivÉe.
Nombre de dpart
⇒Nombre d’arrive fonction
Remarque : Ce procd est souvent une formule mais pas ncessairement. Exemples 16 x=fonctionHeure=fonctionPÉrimÈtre d’un cercleTempÉrature de l’air en C=fonctionAire de ce cercle 2 x+4
Dfinition 7Soit x un nombre de dÉpart et y le nombre d’arrivÉe correspondant. On dit que y estl’imagede x ou que x est unantÉcÉdent. Si fest une fonction, l’image de x par festde y notÉe f(x)de x ». On symbolise la fonction de la faÇon suivante : f« f:x7−→f(x).
Remarque : Un nombre de l’ensemble de dpart n’a qu’une image mais un nombre de l’espace d’arrive peut avoir plusieurs antcdents
Dfinition 8L’ensemble des nombres de dÉpart qui admettent une image par la fonction estl’ensemble de dÉfinitionde la fonction.
16 16 Exemple : DÉterminer l’ensemble de dÉfinition des fonctions f:x→−7, g:x→7−et h:x−7→Aire du cercle de pÉrimÈtre x 2 2 x+4x−4
16 • Pourtoutx, existedoncDf=R. 2 x+4 16 2 • n’existepas six−4=0 donc six=2 oux= −2. AinsiDg=R\ {−2; 2}. 2 x−4 • Uncercle de primtrexn’existe que sixest strictement positif doncDh=]0 ;+∞[.
Thorme 3 (Mthodes) Pour dterminer l’image d’un rel par une fonction dfinie par une formule, il suffit de remplacerxpar la valeur dsire. Pour dterminer le ou les antcdents parfd’un relk, il suffit de rsoudre l’quationf(x)=k.
16 Exemple : Soit fdÉfinie par f:x−→7. DÉterminer l’image de 1 et les antÉcÉdents de0,8par f . 2 x+4 16 16 L’image de 1 estf(1). On a :f(1)=2= =3,2 1+4 5 Les antcdents de 0,8 sont les solutions de l’quationf(x)=0,8. 16 162 2 f(x)=0,8⇐⇒2=0,8⇐⇒ =x+4⇐⇒x+4=20 x+4 0,8 2 ⇐⇒x−16=0⇐⇒(x−4)(x+4)=0⇐⇒x=4 oux= −4 Les antcdents de 0,8 parfsont donc 4 et−4.
GÈNÈRALITÈS SUR LES FONCTIONS3
Seconde 5 - 2010/2011
4 Reprsentationgraphique
Une faÇon de « visualiser » la fonction est donne par la dfinition ci-dessous :
Dfinition 9Le plan Étant muni d’un repÈre, on appelle courbe reprÉsentative (ou reprÉsentation graphique) d’une fonc-tion f ,l’ensemble des points de coordonnÉes(x;f(x)). On dit que y=f(x)est uneÉquationde la courbe reprÉsen-tative de fdans ce repÈre.
Les points de la courbe sont donc les points pour lesquels l’ordon-ne est l’image de l’abscisse.
Remarque : Un rel n’ayant qu’une seule image, la courbe ci-contre ne peut pas tre la reprsentation graphique d’une fonction. En ef-fet, le rel 1, par exemple, aurait plusieurs images parf.
Exemple : Soit fla fonction dÉfinie dans le paragraphe 1/. Pour tracer sa reprÉsentation graphique, on calcule les images de quelques valeurs puis on place les points correspondants dans le repÈre. On relie ensuite ces points par une courbe. x−6−5−4−3−2−1 0 2 3,2 4 f(x) 0,4 0,55 0,8 1,23 x1 2 3 4 5 6 3,2 2 f(x) 1,230,8 0,55 0,4
4 3 2 1 0 −6−5−4−3−2−1 12 3 4 5 6 −1
Thorme 4 (Mthodes) Pour dterminer graphiquement l’image d’un relxpar une fonctionf, il faut trouverl’ordonne du point de la courbe reprsentative defd’abscissex. Pour dterminer graphiquement le ou les antcdents d’un relkpar une fonctionf, il faut trouverles abscisses despoints dela courbereprsentative defdont l’ordonneest gale Àk.
Exemple : Une fonction fest reprÉsentÉe ci-contre. DÉterminer l’image de−1et les antÉcÉdents de 1. L’image de−1 est l’ordonne du point de la courbe d’abscisse−1. On a ainsi :f(−1)=3. Les antcdents de 1 sont les abscisses des points de la courbe dont l’ordonne est gale À 1. Les antcdents de 1 sont donc−3, 1 et 3.
Thorme 5 On peut rsoudre graphiquement des quations ou des inquations en traÇant les courbes correspondantes dans un repre et en lisant les solutions sur l’axe des abscisses.
4COURS 1
7 Variations 7.1 Dfinition
3
2
Seconde 5 - 2010/2011
6 Cf5 4 3 2 1 0 −2−1 12 3 Cg−1
−1
f(a) f(b) a a b b feststrictement croissantecar pour toutain-feststrictement dcroissantecar pour touta frieur Àb,f(a) est aussi infrieur Àf(b). infrieurÀb,f(a) est suprieur Àf(b). GÈNÈRALITÈS SUR LES FONCTIONS5
2 2 Exemple : RÉsoudre l’Équation(E) :x−x−1=x+2et l’inÉquation(I) :x−x−16x+2 2 Soit f la fonction dÉfinie par f(x)=x−x−1et g la fonction dÉfinie par g(x)=x+2. On appelle Cet Cleurs reprÉsentations graphiques. f g les abscissesdes pointsd’intersection Les solutions de(E)sont de Cfet Cg . SE{−1 ;3} donc= les abscissesdes points deCfsituÉs en Les solutions de(I)sont dessous de Cg . SI[−1 ; 3] donc=
Dfinition 11.un intervalle de Dune fonction dÉfinie sur D et ISoit f On dit que fest strictement croissante sur Ilorsque, quels que soient les nombres a et b de I: sia<balorsf(a)<f(b) On dit que fest strictement dÉcroissante sur Ilorsque, quels que soient les nombres a et b de I: sia<balorsf(a)>f(b)
Dfinition 10Soit fune fonction dÉfinie sur un intervalle I . ( f(a)=M f admetun maximum M atteint en x=a si pour tout x de I:f(x)M 6 ( f(a)=m f admetun minimum m atteint en x=a si pour tout x de I:f(x)>m
6 Minimum- Maximum
f(b)
Remarque : On dit aussi qu’une fonction est croissante si deux nombres et leurs images sont rangs dans le mme ordre (a<betf(a)<f(b)) et qu’une fonction est dcroissante si deux nombres et leurs images sont rangs dans l’ordre inverse (a<betf(a)>f(b)). Illustration :
2 Exemple : La fonction freprÉsentÉe ci-contre admet le maximumatteint en x=3 car f(3)=2 f(x)62 pour tout x : −1x= −2 Elle admet le minimumatteint encar f(−2)= −1 f(x)>−1 pour tout x :
f(a)
−2
Seconde 5 - 2010/2011
7.2 Tableaude variations
Dfinition 12Une fonction peut tre croissante sur un intervalle et dÉcroissante sur un autre. Pour rÉsumer ces rÉsultats, on les prÉsente dans un tableau appelÉtableau de variationsde la fonction.
Exemple : Dresser le tableau de variation de la fonction fdÉfinie sur[−2 ; 5,5]reprÉ-sentÉe ci-contre.