Mathematiques pour le signal discret { Ma32Guy CasaleIRMaR b^ at 21 Beaulieuhttp ://perso.univ-rennes1.fr/guy.casale/ ReferencesA First Course in Mathematical AnalysisDavid Brannan, Cambridge University PressMathematiques BTS-DUT IndustrielsC. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus{ Chapitre 1 : Suites numeriques{ 2 : Series numeriques{ Chapitre 3 : Series entieres{ 4 : Transformee en Z11 Suites numeriques1.1 Quelques de nitions.De nition 1 Une suite numerique est une fonction de N dans R (suite reelle)ou C (suite complexe) qui a un entier n associe un nombre u .nUne suite est notee (u ) ou (u ) et u est appele le terme general de lan n2N n nsuite.Cette notation est une abreviation de (u ;u ;u ;u ;u :::).0 1 2 3 4Exemples 1{ Les decimales d’un nombre : l’ecriture de est (3; 1; 4; 1; 5;:::).{ Suites de nies a partir d’une formule f en prenant les valeurs de f en les2 sinxx +epentiers : Si f(x) = , f de nit une suite u =f(n).njxj { Suites constantes u =c2C pour tout n2N : (c;c;c;c;c;:::).n{ La suite des temperatures (en C) relevees tous les matins a l’IUT : (8:5; 12; 9:2; 7:6; 8;:::):{ Echantillonnage a la periode T d’un signal F :e(F (t );F (t +T );:::;F (t +nT );:::) = (u ;u ;:::u :::):0 0 e 0 e 0 1 nNous verrons d’autres exemples dans la suite du cours.Representations graphiques2Operations sur les suitesSoient (u ) et (v ) deux suites.n nOn de nit la somme (u ) + (v ) terme a terme :n n( u ...
R´e´rences ef A First Course in Mathematical Analysis David Brannan, Cambridge University Press Mathe´matiquesBTS-DUTIndustriels C. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus
–Chapitre1:Suitesnume´riques –Chapitre2:S´eriesnum´eriques Chapitre3:Se´riesenti`es – er –Chapitre4:Transform´eeenZ
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1Suitesnume´riques 1.1Quelquesde´finitions. D´efinition1 ´riqueUne suite n est une fonction deNdansRleel´eer)usti( ume ouCui(selpmoceta`iuq)exunentiernassocie un nombreun. Unesuiteestnote´e(un)n∈Nou(un)etuntseem´gtere´llepaepelaralden´e suite. Cettenotationestuneabre´viationde(u0, u1, u2, u3, u4. . .). Exemples 1 –Lesde´cimalesd’unnombre:l’´ecrituredeπest(3,1,4,1,5, . . .). –Suitesd´efinies`apartird’uneformulefen prenant les valeurs defen les entiers : Sif(x) =xp2|+x|e−sinπx,fde´nfitinuetiuseun=f(n). – Suites constantesun=c∈Cpour toutn∈N:(c, c, c, c, c, . . .). –Lasuitedestemp´eratures(en◦C’IUT:atins`alotsuelmslevee´se)r(8.5,12,9.2,7.6,8, . . .). –Echantillonnage`alape´riodeTed’un signalF: (F(t0), F(t0+Te), . . . , F(t0+nTe), . . .) = (u0, u1, . . . un. . .). Nous verrons d’autres exemples dans la suite du cours.
Repre´sentationsgraphiques
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Operations sur les suites ´ Soient (un) et (vn) deux suites. Ond´efinitlasomme(un) + (vnreemt)te`ae:rm (u0u1u2u3u4. . . un + (v0v1v2v3v4 v. . .n = (u0+v0u1+v1u2+v2u3+v3u4+v4. . . un+vn Onde´finitleproduit(un)×(vnerme)trme:`ate (u0u1u2u3u4. . . un. . .) ×(v0v1v2v3v4. . . vn. . .) = (u0v0u1v1u2v2u3v3u4v4. . . unvn. . .) Ond´efinitlede´acaleg+“1”ou vers le futur (un+1) : (un) = (u0u1u2u3u4 u. . .n. . .) (un+1) = (u1u2u3u4u5 u. . .n+1. . .) Onde´finitledegalace´-“”1ou vers le pass´ (un−1) e : (un () =u0u1u2u3u4 u. . .n . . .) (un−1 0) = (u0u1u2u3. . . un−1 . . .) De´finissezvousmemelesde´calages±kpourk∈N: ˆ
Deuxcaract´erisationsde la variation d’une suite : – Une suit ´ lle (une)ssoicrstes(rteanceor.p´dtn)esiasseulsiettsiemen e ree un+1−unest toujours (resp. ). –Unesuitere´elle(un) de nombresstrictement positifsest croissante e si ulement siun+1est (resp.d´ecroissant)etseun (resp. ).
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D´emonstrationparre´currence. Pourmontrerqu’uneproprie´t´eP(n) est vraie pour tout entiern≥n0: 1.Onmontrequelapropri´ete´estvraieaurangn0i.e.P(n0) est vraie. 2. On montre que si pourn,e´fixP(n−1) est vraie alorsP(n) l’est aussii.e. P(n−1)⇒P(n). Exemple 2 Calc l par r´ ce la somme desn:r´esscarmiererp u ez ecurren Sc(n) = 1 + 4 + 9 + 16 +. . .+n26=1n(n+ 1)(2n+ 1). 1.
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Exemple 3oMeqncunu’uiesteertnrapzce´rerru(un)´vrefiinatun+1un−1=u2npour toutnssoicr´e.teansiorctseduoetnas
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1.2 Limites & convergence De´finition3On dit qu’une suite(un)tend (ou converge) versun nombre`si pourtoutepr´ecisionεil existe un rangNtel que pour toutn≥Nles nombresun soienta`unedistanceεde`: ∀ε >0,∃N∈Ntel quen≥N⇒ |un−`| ≤ε Exemple 4lra´eeng´meMorontqunsap’`ranglasuitedeterraitdru’cnreatni√n+11 est plus petit que10−10.
S’il existe, le nombre`paepetsell´alimitede la suite (un) et on note limun=`ouun−→`. n→+∞n→+∞ S’il n’existe pas on dit que la suitediverge. Exemples 5 –Lasuitedetermeg´ene´ralun=e−nconverge vers0.
Siun−→`etvn−→`0alorsunvn−→``0 n→+∞n→+∞n→+∞ − Si de plus lesvnainsi que`0sont non nuls alorsun→``0. vnn→+∞
1.3.3 Image par une fonction continue.
Siun−→`et sifest une fonction continue en`alors n→+∞ →` f(un)n→−+∞f( ). ATTENTIONCeci est faux sifn’est pas continue.
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1.4 Suites classiques. 1.4.1Suitesarithme´tiques. Unesuitearithme´tiquederaisonret de premier termeu0inpe´dfieetserencecurarr´ parun+1=un+r. Onde´montre(parre´currence)queun=u0+nr. - Sirest constante, tous les termes valent= 0, la suite u0. - Sir >0uitee,.lasroores´imssejcattmseaipanasset’n - Sir <.imon´reeuite,las0astpesn’leelismaetnassiorce´dtse La somme desnierstermpremutva:etm´ueiqaetihtir’dseusnu u0+u1+u2+. . .+un=
1.4.2Suitesg´eom´etriques. Unesuitege´ome´triquederaisonqet de premier termeu0ets´dfieinarepecr´reurenc parun+1=qun. Onde´montre(parrecurrence)queun=qnu0. ´ Siu0pnonisulluntiS.sr´epenesrseusscaettn:seetuols=t0esonsuitdelarmes - Siq=l0saiustante´eteestcon0``alegardtiaraptdnocesu.emre - Siq= 1 la suite est constante, tous le termes valentu0. - Siq=−1 la suite vaut alternativementu0et−u0. - Si|q|>1 la suite ne converge pas. - Si|q|<1 la suite converge vers 0. La somme desnesrmtersitsuund’e´moe´geaveuqirtut:rpmeei u0+u1+u2+. . .+un=