Universit´e de Paris 7 CAPES Ecrit: 2001-20022.4 Sous espaces affines• D´efinition: (Sous espace affine) Soit E un espace affine, et V une partie de E. V est un sous→− →−~espace affine deE s’il existe un point a deE et un sous espace vectoriel V deE tel que V =a+V .→−L’action induite par la structure affine deE fait de V un espace affine de direction V . NB: a∈V• Propri´et´es ´el´ementaires: Soient V,W des sous espaces affines deE, et a,b∈E.→− →− →− −→ −→−→ −→(m∈a+ V ⇐⇒ am∈ V ); (m,n∈V ⇒mn∈ V ); (V ⊂W ⇒ V ⊂W)−→ −→−→ −→ −→ →− −→ −→ −→ −→(a+ V =b+ V ⇐⇒ ab∈ V ); (a+ V =b+W ⇐⇒ V =W et ab∈ V )• Proposition: Soit (V ) une famille de sous espaces affines de E. (I quelconque). Alors sii i∈Il’ensemble ∩ V est non vide, c’est un sous espace affine de E. Plus pr´ecis´ement, si a ∈ ∩ V ,i∈I i i∈I i→−alors∩ V =a+∩ Vi∈I i i∈I i•D´efinition: (Sousespaceengendr´eparunepartie)SoitAunepartienonvidedeE. L’intersectiondes sous espaces affines deE contenant A est appel´e sous espace affine deE engendr´e par A. On lenote [A]. C’est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous espace affine deE contenant A.•Proposition: Soient A une partie deE, et a un ´el´ement de A, alors [A] =a+F ou` F est le sous−→~espace vectoriel deE engendr´e par{am|m∈A}.−−→ −−→Ex: Si A ={a ,...,a }, alors [A] =a +[a a ,...,a a ]0 n 0 0 1 0 n2.5 Rep`eres affines• Proposition: (Points affinement ind´ependants) Soient (a ,...,a ) i + 1 points de E. Il y a0 i´equivalence entre les propri´et´es suivantes:−−→ −→- (a a ,...,a a ) ...
•on:nitifie´D(Sous espace affine) SoitEun espace affine, etVune partie deE.Vest un sous − espace affine deEs’il existe un pointadeEcepaneaffiduosnpsesuteelrievactoecVe→ddicereE~leqtt→ueV=Ba+−VV→. − L’action induite par la structure affine deEfait deVun es ionV :. Na∈ •rPneatrise:opri´et´es´el´emSoientV, Wdes sous espaces affines deE, eta, b∈ E. (m∈a+−V→⇐⇒a−→m∈ −V→); (m, n∈V⇒ −m→n∈V−→); (V⊂W⇒ −V→ ⊂ −W→) − (a+V−→=b+V⇐→⇒a−→b∈V−→); (a+V−→=b+−W⇒−→⇐V→=−W→eta−→b∈V−→) •Proposition:Soit (Vi)i∈Iune famille de sous espaces affines deE. (I siquelconque). Alors l’ensemble∩i∈IViest no→n vide, c’est un sous espace affine deE.Plusrpe´ic´smene,tisa∈ ∩i∈IVi, − alors∩i∈IVi=a+∩i∈IVi •no:init´DfietioS)eitrapenuraoSsu(r´epgendceenespaAune partie non vide deE. L’intersection des sous espaces affines deEcontenantAl´peoueseapsteaacspseeedffinEpe´rdnegenraA. On le note [A(au sens de l’inclusion) sous espace affine de le plus petit ]. C’estEcontenantA. •Proposition:SoientAune partie deE, etadentme´eel´nuA, alors [A] =a+F`ouFest le sous espace vectoriel deE~egne´rdnarep{a−→m|m∈A}. Ex:SiA={a0, . . . , an}, alors [A] =a0+ [a−0−a→1, . . . , a−0−a→n]
2.5 Re ` affi peres nes
•Proposition:)Soiantspendnd´ene(tmenffiitneioP(astna0, . . . , ai)i+ 1 points deE y a. Il ´equivalenceentlespropri´ete´ssuivantes: re - (a−0−a→1, . . . , a0−→aipeneni´dsadtns)tlon´einreaintme - dim[a0, . . . , ai] =i Lorsquequ’ellessontr´ealis´ees,onditquelespointssontnitnpe´dffiaemenendants. •Proposition:SoientVetWdes SEA deEtels queV⊂W. AlorsV=W⇔dimV= dimW •Proposition:Soient (a0, . . . , ai)intmed´inenepntdaop1+stnienffiadseE, alors il existe un seul sous espace affine de dimensionideEcontenanta0, . . . , ai. •Corollaire:Par2tsdipoingnlinanotsinpor3nuessapse´uneuassectspstinteapti,edeorinuq plan et un seul. •Th´eor`eem:SiAest une partie d’un espace affineE, alorsAest un sous espace affine deEsi et seulement si tout barycentre de points deAest encore dansA. •:´Dfieinitno(Rep`ereaffine)SiEest un espace affine de dimensionn, on appelleffineaerp`reede Eun (n´dpetnnienemstffiapoin´edetituconselpu-)1+daens.nt •´eDitfin:noiiStriques)sbarycennodree´nooC(Eest un espace affine de dimensionn, alorsE n n admetunrepe`reaffine(a0, . . . , an), et (∀m∈ E,∃!(λ0, . . . , λn)∈kn+1,Pλi= 1 etm=Pλi.ai). i=0i=0 (λ0, . . . , λn) sont leseuscoordonn´eesbarycentriqdemadsneler`peaere(ffina0, . . . , an) 2.6Comple´ments
•opriPre:´et´Sifest une application affine deEdansE0, alors l’image parfd’un SEA deEest un SEA deE0tl’image,epeuqrace´rorpifd’un SEA deE0est un SEA deElorsqu’elle n’est pas vide. SiV0est un SEA deE0, alorsf−−−1(−V−0→) = (−f→)−1(V−→0). •Proposition:SiEetE0sont 2 sous espaces affines de dimensionn, et (a0, . . . , an`pernu)edere E, et (a00, . . . , a0nredeer`p)uneE0, alors il existe une unique application affine deEdansE0telle que ∀i,1≤i≤n, f(ai) =ai0.fest alors bijective. •Proposition:Sifetgnodts(plicesap−→ations affines deEdansE0, alors: (f=g)⇐⇒f=−→get∃a∈ E, f(a) =g(a))
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2.7 Applications affines classiques •Translations:Cf 2.1 •Homotheties:Soientω∈ Eetλ∈k∗. L’application:E → E Onest affine. m7→m0=ω+λ ω−→ . m l’appellehomothe´tiedecentreωet rapportλ. •Exercice:e’n0BN(nesupast´ethmohoitveceotirleelM)ontrerquelesousemesndelbeA(E) forme´deshomoth´etiesetdestranslationsestunsousgroupedeGA(E) •Proposition:Sif∈ A(E),λ∈k−{0,1}, alorsfeto´hteeitsnuhemotradeorppλsi et seulement s−→est l~ ifedllieore´htomoh’tceveiteL(E) de rapportλ. •ProjecV=−V→un sous espace affine deE, etXsuunl´ppmeneatridee−V→dans tions:Soita+ ~ E. Alors∀m∈ E,V∩(m+Xtniopnua`itdu´etres)m0. L’applicationE → E´leepaepets m7→m0 projection deEsurV`tnea`llamelearpX. C’estune application affine dont la direction n’est autre~− que la projection vectorielle deEsurV→taell`enempalarX. ` •Proposition:Soitp∈ A(E). Sip◦p=palorspest une projection. •tn´ieAsffi:Soitλ∈k∗, etp∈ L(E) une projection d’imageVpalarle`lnemea`tX. L’application E → Esteeel´peapde´tinffiatroppareλde baseVmele`antarape`llX. C’est −− m7→m00=p(m) +λ.p−(m)−→m une transformation affine deEde direction:E~=V⊕→−X→ E~u(o`x0, x)∈ −V→×X x0+x7→x0+λ.x − •´mteyS:riesSoitVun sous espace affine deEetXusnu´lppnemeriatedeV→dansE~. On notepla projection deEsurVa`tnemepell`alarX. L’application EE →seate´epple m7→2.p(m)−m syme´trieparrapport`aVa`tneelemall`parXofmratra`´mysetteC.nsraetunsteeriet−Vt→aelnlnffi`daelaereneomiEt ~ dontl’applicationline´aireassoci´eeestlasym´etrievectorielledeEpar rappo p a`X. •Proposition:Soits∈ A(E). Sis◦s=idEalorssetm´earie.ffinseutenys
Exercice I: Onconside`reunplanaffineEeneml´´eunu’tqdinO.tfdeA(E(et´epri´aprofiile´vre)∗) si (∀M∈ E, f−(−−−)−f−2(−−M−→M−−f(−−M→)). M) = 1) Donner un exemple de transformation affine deEtnafiire´v(∗). 2) a) Montrer que siffitexopnirefiite´ve(aun∗), alorsfnffiaee´ti.eunst b)Ende´duiretouteslestransformationsaffinessatisfaisant(∗) r•Danslesexeerc`neise´t(ices suivant→s,Eneigunse´dIR-espace affine de dimension 3 dont on a choisi un pere carO,−i→,−→j ,−k).
Exercice II: D´eterminerl’e´quationduplan 1) passant par le pointAedrooc(1´eesdonn,1,rseuctxuevleaela`lptra1)e−u→et−→vde coor-donne´es(1,2,1) et (2,−1,`le`e.)0→j − 2) passant par les pointsAetBedocroodnn´ees(0,−1,2) et (−1,2,3) et parall a