M1 Mathematiques approfondies, second semestre 2010-2011Surfaces de RiemannJean-Claude SikoravVersion nale (modulo des erreurs)Table des matieres1 Surfaces de Riemann et objets associes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11.1 De nitions1.2 Exemples de surfaces de Riemann1.3 Applications holomorphes, degre en un point:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 31.4 Fonctions holomorphes et meromorphes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 41.5 Diviseurs, diviseurs principaux, groupe de Picard:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 51.6 Degre d’une application holomorphe propre, cas d’une fonction meromorphe1.7 Fibre tangent, structure presque complexe::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 61.8 Formes di erentielles :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 71.9 Formule de Stokes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 91.10 Di erentielles holomorphes et meromorphes), residus1.11 Etoile de Hodge et produit scalaire sur les un-formes reelles::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 112 Fonctions et formes harmoniques::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 132.1 Laplacien et fonctions2.2 Fonctions harmoniques et di erentielles holomorphes2.3 Integrale et principe de Dirichlet::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 142 ...
Bibliographie [Ah] L.V. Ahlfors,Lectures on quasiconformal mapping, second edition, Univ. Lect. Series 38, Amer. Math. Soc., 2006. [Br-K]E.Brieskorn,H.Kn¨orrer,Plane algebraic curves.6891,,reskurai¨Bh [Fa] H.M. Farkas, I. Kra,Riemann surfacesTexts in Math. 71, Springer 1980., Grad. [For] O. Forster,Lectures on Riemann surfacesTexts in Math. 81, Springer 1981., Grad. [Gal-Gau] A. Galard and D. Gauld,Dynamics of non metric manifolds, arXiv:1102.5684. ´ [Go] C. Godbillon,briqueE´lmenestedotopoligaegle´, Hermann, Paris, 1971. [Hu] J.H. Hubbard,Tehmicrehtu¨lloeyr, vol. 1, Matrix Editions, Ithaca (NY), 2006. [Kl] F. Klein,On Riemann’s theory of algebraic functions and their integrals1,ree369voD,onsessiimprtr´e fr´equentes. [Knapp] A.W. Knapp,Elliptic curves, Princeton Math. Notes 40, 1992 [Mi] 1 J. Milnor,On spaces having the homotopy type of a CW-complex, Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 272-280. InCollected papers IV, Amer. Math. Soc., 2009, pp. 35-43. [Mi] 2 J. Milnor,Topology from the differentiable viewpoint, The University of Virginia Press, 1965. [Mi] 3 J. Milnor,Singular points of complex hypersurfaces, Princeton Annals of Math. Studies 61, 1968. ii
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iii
1SurfacesdeRiemannetobjetsassocie´s
1.1D´efinitions Unesurface de Riemannraseposteevuni´ar´eetpmocexelidedsnemionun(courbecompelex,)uqleo’snpu toujoursconnexe.Autrementditc’estunespacetopologiquese´pare´connexeX, muni d’unatlas holomorphe (Ui, ϕi)i∈I`ou •(ui)i∈Iest un recouvrement ouvert deX •lacarteϕi:Ui→Crohpe´mohnmoseutdeismeUisur un ouvert deC •toutchangement de cartesψi,j=ϕi◦ϕj−1:ϕj(Ui∩Uj)→ϕi(Ui∩Uj) est holomorphe. Pluspr´ecise´ment,lastructuredesurfacedeRiemannestde´finieparuneclassed’´equivalenced’atlasholo-morphes,deuxtelsatlase´tantdits´equivalentssileurreunionestencoreunatlasholomorphe.Ouencore ´ onpeutconside´rerl’atlasmaximalassocie´,forme´detouteslescartes(U, ϕ:U→C) telles queϕ◦ϕi−1est holomorphe pour touti∈I:ecatltsaocnodsalta’ltneitne(n´Ui, ϕi), et est clairement le plus grand atlas holomorphe contenant (Ui, ϕiolompreha’ltsaohl´eeseraappertcaeled)ne.Ucarte holomorphe. Uniformisante.SiXest une surface de Riemann etpun point deX, une carte holomorpheϕ´dfieinseru un voisinageUdepet envoyantpsur 0 s’appelle uneuniformisanteenp. Il en existe toujours, puisque si ϕest une carte holomorphe,ϕ−ϕ(pnteoruutouujter,trisvpeeoounomohe´htitcitenoParrestr)aussi. uniformisanteayantpourimageledisqueunit´eΔ. Notation.Il sera commode de noter une uniformisantez(ouw,ζsiofofalitcnteno...),a`alniisnaatn,to sa valeur. On notera aussiz=x+iyu(,)`ox, y)estalorsun´retraceuo,elleeme`estsydoorcodese´rnne´se.eell Soient (X,(Ui, ϕi)i∈I) et (Y,(Vj, ψj)j∈J) deux surfaces de Riemann. Un isomorphisme (oubiholomor-phisme) entreXetYest une bijection qui envoie l’atlas maximal deXsur celui deY(c’est en particulier unhome´omorphisme.Autrementdit,lesapplicationsψ◦f◦ϕ−1sont holomorphes pour toutes les cartesϕ etψdans les atlas holomorphes maximaux deXet deYsuffit que ce soit vrai dans des atlas holomorphes(il deXet deY). On noteraX≈Y’´equivaelationdis´dfieinelcnaeni.eral Une surface de Riemann non compacte est diteouverte. Remarques.1) Si la topologie surXtionefiniirl,a’ltsaalofrunit:onmodifielad´se’nastpnndoea´eiopr d’une carte en demandant seulement que ce soit une bijection sur un ouvert deC. Une partieA⊂Xsera alors ouverte si et seulement siϕi(A∩Ui) est un ouvert deCpour toutillteieogesruojuotlopotenu.Cecfinitid´e quelescartessontdeshome´omorphismes,maislase´paration(ainsiquelaconnexite´)n’estpasautomatique etdoiteˆtred´emontr´ee. 2) Le jacobien du changement de cartesψi,j, vu comme une application entre ouverts deR2est|ψ0i,j|2qui est positif, donc de Riemann est canoniquement orient´toute rface su ee. 3)Enge´ome´triediff´erentielle,onimposeenoutre`atoutevari´et´ediff´erentiableconnexed’eˆtrembnoblraede´ a`l’infinirer´’ˆetond´eunirbbanemoocpmeledet.Ctsacriopprteqe´e´te´a`tuaviuasibil´tal´mteire,’c-tsed-a`deri las´eparabilite´,oulacaraapmopt´cie(tout recouvrement ouvert admet un recouvrement plus fin localement fini).OnverraquedanslecasdessurfacesdeRiemann,cettepropri´et´eestautomatique(th´eo`edRado). rem e *En particulier, soitL+lademi-droite longueL+=ℵ1×[0,u`[o1ℵ1est l’ensemble des ordinaux d´enombrables,muniedelatopologieassoci´eeassocie´ea`l’ordrelexicographique.OnaL+=qα∈ℵ1[α, α+ 1[, etlatopologiedel’ordreenfaitunevarie´te´topologiquededimensionunconnexe.OnpeutmunirL+d’une structuredevari´et´edeclasseC∞oeˆmuemCωed-ri-ta`se’cR-analytique (cf [Sp], Appendix A, p.465-472). En fait il existe 2ℵ1telles structures non isomorphes ([Spivak] pour le casCω, P.J. Nyikos, Adv. in Math. 93 (2004), 129-213 pour le casC∞). DoncL+×RetL+×L+sont des surfaces connexesCω, mais ne peuvent admettredestructuredesurfacedeRiemanncarellesnesontpasde´nombrables`al’infinipuisqueℵ1× {0} estunepartiediscre`tenond´enombrable. Unexemplediffe´rentestlasurfacedePr¨ufer([Sp],p.466,[Hu],p.6-7),obtenueenrecollantsurledemi-plansupe´rieurouvertHdes copiesHxuteredusfrcae-ilpdumedtleunp:o´ermfeancurtsenu’drinumaCω, connexe et admettantRcemmosuossne-blemisedetcron,d´dnencnobaelmorbinfin`al’len’i.Elsapcnoda nonplusdestructuredesurfacedeRiemann.Onpourratrouvercesexemples,´etudi´esd’unpointdevue hhdynamiqueiiniraMsix*.)eeapArelsegian´lef´erenc-Gau](r´tnirlaG[pelspe´ran,d 1.2 Exemples de surfaces de Riemann Les exemples 1), 2) et 4) sont des surfaces ouvertes, 3) et 5) des surfaces compactes. 1