ANNEXE 3: CALCUL DE LA PERIODE DE FROTTEMENT VISQUEUX Annexe 3: Calcul de la période du frottement visqueux Au début de la période visqueuse, la distance entre les surfaces coniques est h . On la 1suppose égale à 1 mm. Le temps nécessaire pour arriver à la distance h : 12⋅(h0−h1)t1= . aCLa vitesse axiale au début de la période: v =a ·t . 0 C 1La vitesse de la roue au début de la période est ω , celle du baladeur et de la bague est R0ω = ω . C BLa distance à la fin de la période: 2 2hmin=Λ⋅ R +R a1 a2où R est la rugosité des surfaces a,i Λ≈ 5 est une constante issue de la théorie de lubrification Fig. A3-1 Modèle des surfaces coniques [11] Considérons l’équation de Reynolds pour l’écoulement entre les surfaces coniques: 3 3⎛ ρ⋅h ⎞ ⎛ ρ⋅h ⎞∂p ∂p∂ ∂⎜ ⋅ ⎟+ ⎜ ⋅ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂x µ ∂x ∂z µ ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂p∂h ∂h ∂ ∂ =6⋅ρ⋅()u1−u2 +6⋅ρ⋅()w1−w2 +6⋅h⋅()ρ⋅u1+u2 +6⋅h⋅()ρ⋅w1+w2 +12⋅ρ⋅(v2−v1)+12⋅h⋅∂x ∂z ∂x ∂z ∂t 246Les vitesses: y ∂p1u=u1+()u2−u1 + ()y−h yh 2µ ∂x y ∂p1w=w1+()w2−w1 + ()y−h yh 2µ ∂zDe cela, le cisaillement: µ ∂p∂u h)τ xy=ν =()u2−u1 + (y−∂y h ∂x 2 µ ∂p∂w hτ zy=µ =()w2−w1 + (y− )∂y h ∂z 2Pour l’application des équations à la géométrie du synchronisateur, on propose les simplifications suivantes: • La roue et la bague restent concentriques, • La vitesse axiale de la bague est v , celle de la roue est nulle, 0• L’épaisseur du film d’huile est h(t)=H(t)·sin α, où H est le déplacement axial, • En supposant les surfaces ...
ANNEXE 3: CALCUL DE LA PERIODE DE FROTTEMENT VISQUEUX
Annexe 3: Calcul de la période du frottement visqueux
Au début de la période visqueuse, la distance entre les surfaces coniques esth1.On la suppose égale à1 mm. Le temps nécessaire pour arriver à la distanceh1:
2⋅(h0−h1) t1=. aC
La vitesse axiale au début de la période: v0=aC·t1. La vitesse de la roue au début de la période estωR0, celle du baladeur et de la bague est ωC=ωB. La distance à la fin de la période:
où
2 2 h=Λ⋅R+Rmin a1a2
Ra,iest la rugosité des surfaces Λ≈5est une constante issue de la théorie de lubrification
Fig. A31 Modèle des surfaces coniques [11]Considérons l’équation de Reynolds pour l’écoulement entre les surfaces coniques: 3 3 ρ⋅hρ⋅h ⎛ ∂p∂⎞ ⎛ p⎞ ∂ ∂ ⎜⋅⎟+⎜⋅⎟= ∂xµ∂x∂zµ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂p ∂h∂h∂ ∂ =6⋅ρ⋅(u1−u2)+6⋅ρ⋅(w1−w2)+6⋅h⋅(ρ⋅(u1+u2))+6⋅h⋅(ρ⋅(w1+w2))+12⋅ρ⋅(v2−v1)+12⋅h⋅∂ ∂z∂ ∂z∂t
µ∂p ∂u h τxy=ν=(u2−u1)+y−) ∂y h∂x2 µ∂p ∂w h τzy=µ=(w2−w1)+(y−) ∂y h∂z2
Pour l’application des équations à la géométrie du synchronisateur, on propose les simplifications suivantes: •La roue et la bague restent concentriques, •La vitesse axiale de la bague estv0, celle de la roue est nulle, •L’épaisseur du film d’huile esth(t)=H(t)·sinα, oùHest le déplacement axial, •En supposant les surfaces coniques parallèles, on a:
•
En supposantρ=cte, on a:
∂h∂h = =0 ∂x∂z
∂ρ∂ρ∂ρ = = =0∂x∂z∂t •Les cônes sont axialement symétriques, la pression varie uniquement au long de la génératrice: ∂p∂p dp =0,=∂x∂z dz En appliquant toutes les simplifications, on aura pour l’équation de Reynolds: 2 d p µv0 =−12 sinα2 3 dz h
Intégrons l’expression deux fois:
µv0 2 p=−6 sinα⋅z+c1⋅z+c23 h
247
2 2 (2 1) z−z0 3b p z vsinsi 6 oùpmax=(0)=µ0nα=v0α3 3 2h h
2 ⎛ ⎞ z−z0) p(z)=pmax⎜1−⎟b 0 ⎝ ⎠
De cela, le cisaillement:
La pression moyenne:
z22 2 (z2−z1) 1b0 pmoy=p(z)dz=µv0sinα=4v0sinα∫ 3 3 z2−z1h h z1
Fig. A32 Désignations du champ de pression [11]
y u=u1+(u2−u1)h yµv0sinα w=w1+(w2−w1)−6(z−z0)(y−h)y3 h h
248
Pour simplifier les expressions des vitesses, on a: ∂p =0∂x ∂p pmaxz−z0) =−2(z−z0)=−12µv0sinα2 3 ∂z b0h
Donc les expressions des vitesses:
Les conditions aux limites étantp(z1)=p(z2)=0, on a (Fig. A32): µv 0 2 p=−6 sinα(z−(z1+z2)⋅z+z1⋅z2)3 h
Soient2z0=z1+z2et2b0=z2-z1, ainsi on a:
µ ∂u τxy=ν=(u2−u1) ∂y h µ µv0sinα ∂w h ( )( )( ) τzy=µ=w2−w1−12z−z0y− 3 ∂y h h2
2 2 2 2 ⎛⎛3(z1+z2)z+z+z1z2(z1+z2)(z+z)⎞ωR⎞ 1 2 1 2 2 3 +α+α+α(−)−⎜⎜1 sin sin sin⎟1⎟ 2 3 2rmrmrmωC ⎝ ⎠ µ⎜ ⎟ 3 =−2πrm(z2−z1)ωC ⎜ ⎟ h 2 2 ⎛(z1+z2)z+z+z1z2⎞R ⎜h1 2 2ω⎟ α+α+α −cos⎜sin1 sin ⎟( ) 2 rmrm3rmωC ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ Le coefficient de frottement est donné par l’équation suivante: M(y=h)sin f=2 ⎛ ⎞ 1b2 ax m+( )α F r⎜1 sin⎟ 3rm ⎝ ⎠
Fig. A33 Raffinement du modèle [11]
Dans le cas d’un embrayage conique (Fig. II8):
249
En remplaçant cela, on a:
z1=-b, z2=b-Hcosα
z1+z2H z0= =−cosα2 2 z2−z1H b0= =b−cosα2 2 On remplace ces expressions dans les équations dep,Fax,Metf. Pour simplifier encore, on peut faire les approximations suivantes:H<<rm, H<<b, donc z z H 1 2 z0= =−cosα≈0 2 2 z2z1H b0= =b−cosα≈b 2 2 Ainsi on obtient une nouvelle fois les expressions pourp,Fax,Metf:
2 2 ⎛ ⎞R⎛ ⎞R b2ωh1b2ω + − − + ⎜1)sinα⎟(1)cosα⎜1( )sinα⎟ rmωCrm3rmωC ωcrmsinα⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f= ⋅2 2 2 ⎛ ⎞b 1b2b2b2 + v0⎜1( )sinα⎟4( )sinα+cosα+sinαcosα−2 sinα ⎝3rm⎠h h hrm A ce point, on peut remplacer les valeurs numériques des différentes quantités. En négligeant certaines termes proches du zéro, on obtient des formules simples à utiliser. Pour des études plus approfondies, on donne leur forme adimensionnée aussi: