UNE CORRECTION À L’ÉQUATION 2 a =v =r (ET UNE RÉFUTATION DES LEMMES VI, VII & VIII DE NEWTON) par Miles Mathis 2 UNE CORRECTION À L’ÉQUATIONa =v =r M. Mathis 1 INTRODUCTION La plupart des gens assument que les corrections d’Einstein aux équation gravi- tationnelles de Newton ont complété l’analyse nécessaire du problème. Einstein a ajusté des mathématiques qui étaient déjà très efficaces, et pratiquement rien ne reste à faire. C’est la sagesse populaire. Bien sûr, le travail continue sur le mécanisme de la gravitation, puisqu’il est com- plètement inconnu. Mais les mathématiques de la gravitation sont considérées comme complètes. Personne ne travaille sur les équations de champ de la relati- vité générale car elles sont supposées correctes. Cet article démontre que cette supposition ne peut plus être maintenue. J’ai dé- couvert une erreur mathématique élémentaire dans l’une des équations fondamen- tales de Newton. L’équation, et sa dérivation par Newton, n’a jamais été remise en question depuis des siècles. L’équation est utilisée aujourd’hui dans de nombreuses théories ésotériques, y compris la dérivation du rayon de Schwarzschild, la prédic- tion de l’intensité d’une onde gravitationnelle et ainsi de suite. Elle est importée dans ces dérivations en tant que fait connu. De plus, l’équation est utilisée en rela- tivité générale. C’est l’une des préconditions de base de plusieurs parties de divers tenseurs.
UNE CORRECTION á L’ÈQUATION 2 a=v /r (U N ER È F U TAT IO ND E SL E M M E SE TVI, VII & VIIID ENE W T O N)
parMiles Mathis
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
1 INTRODUCTION
M. Mathis
La plupart des gens assument que les corrections d’Einstein aux quation gravi-tationnelles de Newton ont complt l’analyse ncessaire du problme. Einstein a ajust des mathmatiques qui taient djĀ trs efficaces, et pratiquement rien ne reste Ā faire. C’est la sagesse populaire.
Bien sÛr, le travail continue sur le mcanisme de la gravitation, puisqu’il est com-pltement inconnu. Mais les mathmatiques de la gravitation sont considres comme compltes. Personne ne travaille sur les quations de champ de la relati-vit gnrale car elles sont supposes correctes.
Cet article dmontre que cette supposition ne peut plus tre maintenue. J’ai d-couvert une erreur mathmatique lmentaire dans l’une des quations fondamen-tales de Newton. L’quation, et sa drivation par Newton, n’a jamais t remise en question depuis des sicles. L’quation est utilise aujourd’hui dans de nombreuses thories sotriques, y compris la drivation du rayon de Schwarzschild, la prdic-tion de l’intensit d’une onde gravitationnelle et ainsi de suite. Elle est importe dans ces drivations en tant que fait connu. De plus, l’quation est utilise en rela-tivit gnrale. C’est l’une des prconditions de base de plusieurs parties de divers tenseurs. Je montre que toutes ces drivations et tous ces calculs sont fatalement compromis par cette erreur.
2 Cette quation esta=v /r. Nous avons tous appris cette quation Ā l’cole, concernant le mouvement circulaire uniforme. Elle tablit la relation entre une vitesse orbitale et une acclration centripte. La raison pour laquelle cette qua-tion est si souvent utilise dans la physique contemporaine est qu’elle est gale-ment suppose dcrire la relation, dans sa forme la plus simple, entre un corps orbitant et la force de gravitation ressentie par ce corps. C’est de la physique ba-sique, et je suis prt Ā parier que personne n’a examin de prs cette quation depuis trs longtemps. Personne n’a certainement eu la perspicacit ou le cran de la remettre en question dans un cours de physique Ā l’cole. Le temps qu’un tu-diant en physique atteigne l’universit et de telles quations ne l’intressent plus – elles doivent tre utilises au besoin mais jamais examines de plus prs.
Je fus conduit Ā rexaminer cette quation Ā cause de problmes apparus dans dif-frents domaines. Dans cet article, je ne vais pas plonger dans la thorie : il suffit de dire que les concepts fondamentaux de la gravitation me semblaient assez at-tnus dans plusieurs domaines d’tude. Ce qui tait ncessaire, de mon point de vue, ce n’tait pas encore plus de maths sotriques – comme par exemple la pour-suite de thories sur des super-cordes et autres choses semblables – mais plutÔt un examen plus rigoureux des thories et concepts soutenant les mathmatiques gra-vitationnelles, et plus spcialement la simple algbre qui est Ā la base de la plupart des maths suprieures. En faisant ainsi, je dcouvris de nombreuses erreurs qu’on
2
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
ne peut, je pense, que dclarer stupfiantes. Ce papier va parler de l’une d’entre elles.
3
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
2 LA DÈRIVATION DENEWTON
M. Mathis
2 Newton utilisa l’quationa=v /r afin de relier sa fameuse quation de la gravita-2 tion universelle Ā la troisime loi de Kepler, c’est-Ā-dire que F=Gm1m2/r devient 2 32 2 t /r= 4π /Gm2uniquement en supposant quea=v /r.
La drivation complte se trouve dans tous les manuels scolaires et je ne vais pas 2 la rpter ici. Je la mentionne uniquement dans le but de montrer quea=v /r a constitu une quation fondatrice ds le commencement. Newton la traita lui-mme presque comme un axiome. Il « prouva » l’quation dans une des premires parties desPrincipia(section 2, proposition 4). J’cris « prouv » parce que l’qua-tion est en ralit introduite en tant que corolaire, avec seulement l’esquisse d’une preuve. Le corolaire 1 n’est qu’une phrase intgre dans un thorme. Voici le corolaire 1, en intgralit :
« Ds lors, puisque ces arcs sont proportionnels aux vitesses des corps, les forces centriptes seront en raison compose de la raison double des vitesses directement, et de la raison simple des rayons inverse-ment ».
En langage moderne, cela nous donne :
« Puisqueles arcs dcrivent la vitesse, l’acclration est le carr de la vitesse sur le rayon ».
Newton aurait pu rpondre justement que sa phrase ne contenait aucune impli-cation d’galit exacte. Il disait simplement que la force est proportionnelle Ā l’in-verse du rayon. Ds lors, si l’galit n’est pas exacte, l’erreur ne fut jamais de lui.
En fait, dans le paragraphe prcdent, il avait dclar :
« Ces forces tendent au centre des cercles et elles sont entre elles comme les sinus verses des arcs dcrits dans de trs petits temps gaux, c’est-Ā-dire comme les carrs de ces mmes arcs diviss par les diamtres de leurs cercles ».
Je lis cela comme signifiant que, selon la trigonomtrie applique au problme, la proportion s’applique aux diamtres dans le premier cas. Newton passe alors du diamtre au rayon simplement en disant «puisque les diamtres sont comme les rayons». Pour moi, cela prouve absolument qu’il parle, dans cette section, de proportions et pas d’galits. Le rayon comme le diamtre sont galement propor-tionnels, car la proportion ne prend pas en compte des magnitudes du premier degr. Si vous tes proportionnel Ā 2x, vous tes proportionnel Āx.
4
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
La drivation actuelle de l’quation ne mentionne jamais la mthode de Newton utilisant le sinus verse, apparemment du fait que la connaissance des sinus verses n’est plus rpandue. Ou il se peut que cette mthode n’est pas mentionne parce qu’elle est trs difficile Ā pntrer. Je montrerai qu’elle approche bien plus de la rsolution du problme que la drivation actuelle. Cela ne devrait pas constituer une bien grande surprise, considrant son auteur. Cependant, en se tenant sur les paules de Newton, la science moderne aurait dÛ finalement voir plus loin, du moins on pouvait l’esprer, tant donns les 300 ans qu’elle a eus Ā sa disposition pour perfectionner son œuvre. Il apparat au contraire qu’elle a utilis son temps Ā devenir myope, en remplaÇant une drivation lgrement dfectueuse par une drivation constituant un embarras mathmatique.
Puisque je prouve plus loin que la drivation actuelle choue compltement, il me semble que je dois galement analyser la drivation originelle de Newton afin de montrer que la science n’a pas, au moins, l’ignominie de remplacer une drivation correcte par une incorrecte. La drivation de Newton comme l’actuelle font des erreurs fondamentales dans l’analyse du mouvement circulaire.
Newton propose un corps qui se meut de A en B, qui est en cet endroit contraint par une force qui le fait dvier, et qui continue jusqu’en C. Il possdait ds le commencement une vitesse constante, et ds lors AB=Bc=BC. Newton postule que c est l’endroit oÙ le corps se serait rendu en l’absence de la force. Il cherche la taille et la direction de la force qui lui permettent de faire dvier le corps de c vers C. Il assume que d est le vecteur acclration caus par cette force, puisqu’il est la diffrence entre les deux vecteurs.
5
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
M. Mathis
En trigonomtrie, le sinus verse est simplement la section externe du rayon, quand le rayon a t coup par une ligne projete Ā partir de l’extrmit de l’arc. Newton ne trace jamais cette ligne dans ses diagrammes desPrincipia, ce qui est en soi intressant. Newton aimait cacher ses maths, pour une raison ou une autre. On assume gnralement que cette raison consistait Ā garer la comptition, mais dans ce cas-ci cela me semble tre de l’obstruction. Cacher de bonnes maths peut tre de bonne guerre pour certains, mais cacher de mauvaises maths est toujours quelque chose de moins noble. Ce que Newton cache pouvait paratre clair pour e des gens du 17sicle, mais c’est trs obscur aujourd’hui. Le sinus verse approche de zro trs rapidement pour des angles trs petits, de faÇon telle qu’il puisse 1 assumer l’quation connue sous le nom de quationsagitta:
2 sinus verse=h /2r (oÙh=rθ).
Newton propose que, Ā la limite,h=l’arc. Et, puisque le sinus verse est propor-2 tionnel Ā la force centripte, l’acclration doit tre proportionnelle Ā arc/2r. De 2 plus, dit-il, l’arc est gal Ā la vitesse, si bien queaest proportionnel Āv /2r. Mais le sinus verse est seulement la moiti de la force, dclare-t-il [voir prop. I, coro-2 laire IV], donc l’acclration entire devienta=v /r. Vous pouvez constater que l’quationsagittaest la cl qui permet de comprendre la drivation de Newton. Newton ne rvle rien de tout cela dans lesPrincipia, mais c’est la seule manire de comprendre ses commentaires sur le sinus verse.
Ceci reprsente les maths caches de Newton, telles qu’elles sont. Elles sont subti-lement perverties de plusieurs faÇons, dont par exemple son utilisation du lemme VII. Dans le lemme VII, Newton dclare qu’Ā la limite (quand l’intervalle entre deux points va vers zro), l’arc, la corde et la tangente sont tous gaux. Mais si cela est vrai, alors sa diagonale comme le sinus verse doivent tre zro. Selon le lemme VII, tout va soit vers l’galit soit vers zro Ā la limite, ce qui n’aide pas vraiment Ā calculer une solution. Ni l’quation du sinus verse ni le thorme de Pythagore ne s’appliquent lorsque nous allons Ā une limite telle que dfinie par Newton. Je montrerai ci-dessous, grce Ā une analyse simple, que la tangente doit pouvoir rester plus longue que la corde Ā la limite; c’est seulement alors que le problme peut tre rsolu sans la moindre contradiction.
Avant de raliser cela, il est intressant de noter que Newton obtient presque la bonne rponse, malgr des lemmes fautifs. Le sinus verse nous donnera la rponse correcte, Ā condition que nous analysions l’intervalle correct. Le sinus verse devient gal Āauniquement si nous considrons la longueur de l’arc de A Ā b. Newton a considr la longueur de l’arc de A Ā C. Nous devons projeter la perpendiculaire de b Ā la place de C afin d’obtenir le sinus verse correct. Si nous faisons cela, nous trouvons en fait que le sinus verse=aĀ la limite.
6
1. «flche » en latin (NDT).
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
Une fois que nous avons trouvade cette manire, il n’y a cependant pas besoin de le doubler, car en trouvant le sinus verse nous avons utilis l’angleθet la longueur de l’arc de A Ā b. Ceci doit donc constituer notre intervalle. Vous pouvez voir que la seule diffrence entre ma correction et la mthode de Newton est qu’il trouve la force sur l’intervalle de A Ā C, alors que je trouve la force de A Ā b. Sa force est le double de la mienne et son arc est le double du mien, et ds lors tout devrait rester pareil. Mais ce n’est pas vraiment aussi simple.
Ce que nous trouvons par la mthode de Newton une foisddcouvert est la force requise pour amener le corps de c Ā C durant l’intervalle B Ā C. J’agre sur le fait que cette force est de
2 d= 2a=v /r.
Newton rpand alors cette force sur l’intervalle A Ā C, et nous obtenons notre quation actuelle. Il est vident que la force requise pour amener de A Ā C est de 2 deux fois la force pour l’amener de A Ā b. Si j’admets quea=v /2r, alors je dois 2 admettre qued=v /r. Je l’admet. Mais il reste un trs gros problme. Newton est all Ā la limite pour trouverd.Je suis all Ā la limite pour trouvera. Nous sommes tous deux supposs tre au rapport ultime. Je viens juste de montrer, cependant, qu’il a trouv la solution non pas sur un mais sur deux intervalles. Il commence la proposition I par ce qui suit :
« Suppos que le temps soit divis en parties gales, et que dans la pre-mire partie de ce temps, le corps, par la force qui lui a t imprime, dcrive la ligne AB : suivant la premire loi du mouvement dans un se-cond temps gal au premier, il se dirigerait directement vers c, le long de la ligne Bc gale Ā AB ».
Il a donc postul deux intervalles de temps. Vous ne pouvez pas postuler deux intervalles de temps pour ensuite postuler que vous tes Ā l’intervalle ultime. L’in-tervalle ultime est le dernier intervalle de la srie. Il ne peut pas tre subdivis plus 2 avant, par une variable de temps ou par quoi que ce soit d’autre. Ds lorsd=v /r doit s’appliquer Ā deux intervalles de temps. C’est la force requise pour amener le corps Ā deux fois la distance de l’arc ultime, en vertu du raisonnement mme de Newton.
Vous pouvez peut-tre djĀ voir qu’il est beaucoup plus simple et logique de laisser Ab tre l’intervalle ultime, de faÇon que l’arc Ab soit compos des vecteurs AB et Bb. Ensuite nous pouvons rsoudre poura, en utilisant soit un sinus verse soit le thorme de Pythagore – ce que je fais ci-dessous. Dans les deux cas, nous trouvons 2 que sur l’intervalle ultime,a=v /2r.
Je voudrais souligner une chose avant de continuer. J’ai cit Newton ci-dessus, quand il dit que l’arc est la vitesse, comme tant drive par sa mthode et par
7
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
M. Mathis
ses quations (qui sont toujours utilises aujourd’hui). Ceci signifie que la variable vdans toutes les quations finales doit tre comprise comme tant la vitesse or-bitale. Elle n’est pas la vitesse tangentielle. La vitesse tangentielle est reprsente par un vecteur en ligne droite le long de la tangente. Ce qui signifie qu’il se meut dans cette direction. C’est ce que reprsente ce vecteur. La vitesse tangentielle ne courbe pas et elle ne suit pas la courbe de l’arc. Dans le diagramme ci-dessus, la vitesse tangentielle sur le premier intervalle est AB et la vitesse orbitale est Ab. Newton nous donne la vitesse tangentielle pour commencer, lorsqu’il nous donne AB ;ensuite, nous recherchons la vitesse orbitale. La vitesse qui suit la courbe de l’arc est la vitesse orbitale, et elle est la variable vitesse dans l’quation finale de 2 Newtona=v /r. Historiquement, les physiciens n’ont pas gard spares ces deux variables vitesse, mais vous devez apprendre Ā le faire quand vous suivez les argu-ments et les diagrammes dans cet article. Les deux vitesses ont t amalgames, et quand nous regardons des quations modernes commev=rω, il y a confusion : nous ne savons pas de quelle vitesse nous parlons. Les manuels contemporains nous affirment que levdans cette quation reprsente la vitesse tangentielle, mais ce n’est pas le cas. C’est la vitesse orbitale.
En analysant plus profondment ce problme, je prouverai galement que l’arc ne dcrit pas la vitesse – ni aucune autre vitesse relle – et que nous avons besoin d’une autre quation pour exprimeraen fonction de la vitesse tangentielle. La vitesse tangentielle et la vitesse orbitale ne sont pas les mmes choses – bien que par le lemme VII de Newton, elles aient t prises pour la mme chose Ā travers l’Histoire. La vitesse tangentielle est la tangente et la vitesse orbitale est l’arc. Le lemme VII affirme qu’elles sont la mme longueur Ā la limite. Je prouverai que c’est faux. En plus de cela, je vous demanderai de considrer le fait lmentaire suivant : un arc est une courbe. Une courbe ne peut pas dcrire une vitesse, car par dfinition une vitesse ne peut pas courber. Une courbe dcrit une acclration, comme nous le savons tous. La vitesse orbitale est une vitesse uniquement sur l’intervalle ultime – oÙ elle devient droite. Mais mme en cet endroit, elle n’est pas gale Ā la vitesse tangentielle, comme je le montrerai.
Il peut galement tre utile de souligner que l’quation linaire de base pour l’ac-2 2 clration estv=v+ 2ar. Cette quation se trouve au premier chapitre de la 0 plupart des manuels de physique. Il m’a fallu plusieurs annesaprÈsavoir rdig cet article pour me rappeler que cette quation se rduit Ā
2 v= 2ar
2 v =a 2r Il est vraiment incroyable que personne n’ait pens Ā connecter ces deux quations.
8
3 LA SOLUTION ACTUELLE
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
Newton a fourni une preuve mathmatique qui tait Ā la fois minime et opaque, mais les manuels actuels offrent une solution lgrement plus explicite. Ce que j’ai 2 recopi ici constitue la drivation mathmatique standard dea=v /r. J’ai recopi les tapes ci-dessous d’un rcent manuel de facult.
2 Voici donc la drivation accepte dea=v /r :
Soitv0la vitesse tangentielle initiale, comme on peut la voir sur la premire illus-tration.
Puisquev0etvsont tous deux perpendiculaires Ā r, les deux anglesθdoivent tre gaux ;ds lors, les triangles affichs sont similaires; ds lors, quandt→0,
Δv/v= Δl/r
Δv=vΔl/r Δv a=lim t→0 Δt vΔl =lim rΔt t→0
Δl Et puisque la vitesse,v, de l’objet estlimt→0, Δt
9
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
Le manuel dit :
2 a=v /r.
M. Mathis
« QuandΔtest trs petit,Δlet les angles sont aussi trs petits, doncv sera presque parallle Āv0, etΔvleur sera essentiellement perpendi-culaire. Ainsi,Δvpointe vers le centre du cercle ».
Les erreurs sont ici nombreuses. Laissant de cÔt l’organisation conceptuelle et le calcul pour un moment, permettez-moi de parler du problme le plus important d’abord. Dans sa drivation, le manuel assume que la variablevdans la dernire quation est la mme que celle dans la premire. Mais ce n’est pas le cas. Dans la premire ligne de la drivation, la variablevreprsente la vitesse tangentielle. Δl Quatre lignes plus loin, on nous dit «la vitesse de l’objet,v, est delimt→0». Δt Mais cela reprÉsente la vitesse orbitale!La variableva t change. Vous ΔlΔl pouvez voir quevdans leur premier diagramme n’est pas delim, puisquelim ΔtΔt est la vitesse courbe de A Ā B :vn’est qu’une composante de cette vitesse;v est une ligne droite!Mais le manuel substitue l’une pour l’autre. Autrement dit, 2 Δl vΔl/rΔtdevient magiquementv /r. Mais, siv6= limt→0, alors la substitution Δt doit chouer. Elle choue, et la drivation choue avec elle.
Une analyse plus profonde de la situation montre quevest la vitesse tangentielle, Δl/Δtest la vitesse orbitale, et elles ne seront jamais gales – sur aucun intervalle, y compris un intervalle infinitsimal. Le manuel a besoin d’indices pour diffren-cier les deux, commevtetvorb(pourvorbitale).vorb= Δl/Δt, maisvt6= Δl/Δt, et 2 donc l’quationa=v /r devrait tre luea=vtvorb/r si le manuel suivait sa propre mthode correctement.
2 vtvorbv 6=. r r
Il n’est finalement pas clair siv, dans l’quation actuelle, s’applique Ā la vitesse orbitale ou Ā la vitesse tangentielle, car la drivation fait les deux suppositions.
á l’intention de ceux qui sont djĀ dans la confusion, permettez-moi de le dire d’une manire lgrement diffrente. Cette drivation moderne est un tour de prestidigitation, un tour de passe-passe. Tout comme un magicien repenti, je vais vous rvler le truc. Retournez Ā l’illustration et notez qu’ils ont tiquet les deux vitesses tangentiellesv0etv? Les deux vecteurs sont des vitesses tan-. Pourquoi gentielles, ils sont juste en des positions diffrentes. Mais ce qui nous intresse, c’est la longueur ou valeur numrique des vecteurs, pas leur position. Les valeurs numriques sont les mmes, et donc les vecteurs devraient porter le mme nom. Envaleur,v0=v; les nommer diffremment est juste un trucage. C’est ce trucage qui permet aux magiciens ici de vous faire aller dev0Āvet de complter cette preuve malhonnte. Examinez de nouveau l’quation
10
2 UNE CORRECTION á L’ÈQUATIONa=v /r
Δv/v= Δl/r.
Demandez-vous : ne devrions-nous pas plutÔt avoir ici
Δv/v0= Δl/r ?
C’est en cet endroit que la substitution a lieu. C’est lĀ que la main est plus rapide que l’œil. Comme vous le voyez,v0est devenuv, de faÇon Ā ce que lorsque l’arc estÉgalementdfini parv, les deux sembleront les mmes sur la page. Ensuite, les magiciens peuvent substituer l’un pour l’autre et obtenir le rsultat dsir.
Il est vraiment choquant de trouver de telles tricheries maladroites en mathma-tique et en physique fondamentales.
Mais il y a encore plus de problmes. notez que les magiciens se permettent de faire des substitutions dans une quation aux limites. Je parle de l’quation
Δv aiml= t→0 Δt
Ils substituentvΔl/r lĀ-dedans. Mais vous ne pouvez pas faire cela, parce que ces variables sont captures par le signe limite. Cette quation se lit : «la limite, lorsquetva vers zro, du changement env, etc ». Ce n’est pas la mme chose que simplement «changement env». La substitution est interdite. Aprs la substitu-tion, vous voyez, vous avezΔlallant vers la limite, tandis qu’avant vous aviezΔv. Pour faire la substitution, vous devez assumer que les deux variables delta vont vers la limite de la mme faÇon, mais vous ne pouvez pas assumer cela. La raison spcifique pour laquelle vous ne pouvez pas l’assumer est parce que les deux deltas ne sont pas quivalents.Δl, commeΔt, est un simple intervalle. MaisΔvest un changement en vitesse, ce qui n’est pas un simple intervalle. Un changement en vitesse est djĀ une acclration, par dfinition, ce qui signifie qu’il ne s’agit pas de la mme sorte de variable queΔl. Dans le calcul, vous devez diffrencier des longueurs, des vitesses et des acclrations, habituellement Ā l’aide de variables primes, mais ici nous n’avons rien de tout cela. Une acclration ressemble exac-tement Ā une vitesse ici, sans la moindre diffrence de notation.
Et les problmes continuent. La partie (b) tout entire de l’illustration est fausse. Δv6=v−v0, parce que cette math est concerne par des valeurs, comme je l’ai dit. La valeur numrique devest la mme que la valeur numrique dev0, et doncΔvne peut valoir que zro ici. Un corps en orbite ne change pas la valeur numrique de sa vitesse. Il possde une vitesse constante. La diffrence entrev etv0n’est ici qu’une diffrence d’angle. Rsoudre de cette faÇon ne peut donc