UNE RÉFUTATION DES LEMMES FONDAMENTAUX DE NEWTON par Miles Mathis Newton publia ses Principia en 1687. Excepté pour les corrections d’Einstein dans sa relativité, l’essentiel du texte est resté incontesté depuis lors. Il a constitué la colonne vertébrale de la trigonométrie, du calcul différentiel, de la physique clas- sique, et il l’est toujours en grande partie. C’est le texte fondamental pour la ciné- matique, pour la gravitation et pour bien d’autres sujets. UNE RÉFUTATION DES LEMMES FONDAMENTAUX DE NEWTON M. Mathis Dans cet article, je ferai une réfutation simple et directe de l’un des premiers lemmes de Newton, un des plus fondamentaux, un lemme qui reste jusqu’à ce jour la base du calcul et de la trigonométrie. Ma correction est importante – malgré l’an- cienneté du texte que je critique – simplement du fait de l’importance continue de ce texte dans les mathématiques modernes et dans les sciences. Ma correction cla- rifie la fondation du calcul, une fondation qui est, jusqu’à aujourd’hui, d’un grand intérêt pour les mathématiciens purs. Dans les cinquante dernières années, des mathématiciens renommés, comme par exemple Abraham Robinson, ont continué à travailler sur les fondations du calcul (voir « Analyse non-standard »).
Newton publia sesPrincipiaen 1687. Except pour les corrections d’Einstein dans sa relativit, l’essentiel du texte est rest incontest depuis lors. Il a constitu la colonne vertbrale de la trigonomtrie, du calcul diffrentiel, de la physique clas-sique, et il l’est toujours en grande partie. C’est le texte fondamental pour la cin-matique, pour la gravitation et pour bien d’autres sujets.
UNE RÈFUTATION DES LEMMES FONDAMENTAUX DENEWTON
M. Mathis
Dans cet article, je ferai une rfutation simple et directe de l’un des premiers lemmes de Newton, un des plus fondamentaux, un lemme qui reste jusqu’Ā ce jour la base du calcul et de la trigonomtrie. Ma correction est importante – malgr l’an-ciennet du texte que je critique – simplement du fait de l’importance continue de ce texte dans les mathmatiques modernes et dans les sciences. Ma correction cla-rifie la fondation du calcul, une fondation qui est, jusqu’Ā aujourd’hui, d’un grand intrt pour les mathmaticiens purs. Dans les cinquante dernires annes, des mathmaticiens renomms, comme par exemple Abraham Robinson, ont continu Ā travailler sur les fondations du calcul (voir «Analyse non-standard»). Mme Ā une poque aussi tardive dans l’Histoire, des corrections mathmatiques et ana-lytiques importantes doivent garder un intrt, et une dcouverte telle que celle contenue dans ce papier est cruciale pour la comprhension des mathmatiques dont nous avons hrit. Cette correction n’a jamais t adresse non plus dans les modifications historiques du calcul, par Cauchy ou qui que ce soit d’autre. Redfi-nir le calcul en se basant sur des considrations de limite n’affecte en rien l’analyse gomtrique ou trigonomtrique que je vais offrir ici.
Le premier lemme dont il sera question ici est le lemme VI, du Livre I, section I («Du mouvement des corps»). Dans ce lemme, Newton fournit le diagramme ci-dessous, oÙ AB est la corde, AD est la tangente et ACB est l’arc. Il nous dit que si nous laissons B approcher de A, l’angle BAD doit ultimement s’vanouir. En langage moderne, il nous dit que l’angle va vers zro Ā la limite.
Cette affirmation est fausse pour la raison suivante : si nous laissons B approcher A, nous devons surveiller l’angle ABD, pas l’angle BAD. B approchant A, l’angle ABD se rapproche de plus en plus d’un angle droit. Quand B atteint finalement A, l’angle ABD est un angle droit. Ds lors, l’angle ABD ne peut jamais tre aigu. C’est uniquement si nous imaginons que B dpasse A que nous pouvons imaginer que l’angle ABD serait aigu. Et mme alors, l’angle ne serait pas vraiment aigu puisque nous serions dans une sorte d’intervalle de temps ngatif. Newton utilise A comme son point zro, et donc nous ne pouvons pas rellement dpasser ce point sans
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arriver Ā une sorte d’intervalle ngatif, plus spcialement du fait que nous parlons ici du mouvement d’un corps rel.
Ajout :J’ai ajout ce paragraphe aprs avoir discut avec de nombreux lecteurs qui ne parviennent pas Ā visualiser la manipulation ici. C’est trs simple : vous devez faire glisser la ligne entire RBD vers A, la gardant toujours droite. C’tait la visualisation de Newton et je ne l’ai pas change ici. Je ne change pas ses pos-tulats physiques, j’analyse sa gomtrie avec une rigueur encore plus grande que la sienne.
Si nous amenons B vers A sans dpasser A, alors l’angle ABD a une limite Ā 90. Quand ABD est Ā 90, l’angle BAD ne peut pas tre zro. Ceci sera clair comme du cristal dans un moment quand nous examinerons la longueur de la tangente Ā la limite, mais pour l’instant il suffit de dire que si l’angle BAD tait zro, alors ADB devrait galement tre 90, ce qui est impossible Ā proposer : un triangle ne peut pas avoir deux angles Ā 90.
Dans le lemme VII, Newton utilise le lemme prcdent afin de dmontrer qu’Ā la limite, la tangente, l’arc et la corde sont tous gaux. Je viens juste de prouver que cela est faux en dmontrant que l’angle ABD est Ā 90 Ā la limite. Si ABD est Ā 90 Ā la limite, alors la tangente doit tre plus grande que la corde. Veuillez noter que si AB et AD sont gaux, alors ABD doit tre moindre que 90. Mais j’ai dmontr que ABD ne peut tre plus petit que 90. B devrait dpasser A, ce qui nous placerait dans un intervalle de temps ngatif. Si B dpasse A (A tant la limite), alors la tangente ne peut jamais galer la corde, pas quand on approche de la limite ni Ā la limite.
Ceci vrifie ma supposition prcdente selon laquelle l’angle BAD ne peut aller vers zro. Si la tangente est plus longue que la corde Ā la limite, alors c’est une raison de plus pour que l’angle BAD doit tre plus grand que zro, mme Ā la limite. Si AD est plus grand que AB, alors DB doit tre plus grand que zro. Si DB est plus grand que zro, alors l’angle BAD est plus grand que zro.
Tout ceci est caus par le fait que l’angle ABD va vers 90avantque l’angle BAD aille vers zro. L’angle ABD atteint la limite en premier, ce qui interdit Ā l’angle BAD de l’atteindre. BAD n’atteint jamais zro.
Bien entendu, cela signifie que B n’atteint jamais A. Si B atteignait rellement A, nous n’aurions plus un triangle. La tangente et la corde sont gaux uniquement lorsqu’ils sont tous deux gaux Ā zro, et ils sont tous deux gaux Ā zro lorsque l’intervalle entre A et B est zro. Mais l’angle Ā 90 en ABD interdit cette ventua-lit. Quand cet angle est Ā 90, la tangente doit tre plus grande que la corde. Ds lors, la corde ne peut tre zro. Si la corde est zro, alors la tangente et la corde sont gaux : ds lors la corde n’est pas zro. Pour le prsenter sous une forme plus concrte :
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1. Sila corde AB est zro, la tangente AD est galement zro, 2. zro= zro, 3. siAB=AD, l’angle ABD doit tre plus petit que 90, 4. l’angleABD ne peut pas tre plus petit que 90.
CQFD : AB n’est pas gal Ā AD; AB n’est pas gal Ā zro.
M. Mathis
En fait, c’est prcisment la raison pour laquelle nous pouvons faire des calculs dans l’« intervalle ultime » de Newton, ou Ā la imite. Si toutes les variables taient soit Ā zro ou Ā galit, alors nous ne pourrions esprer calculer quoi que ce soit. Newton, trs vite aprs avoir prouv ces lemmes, utilisa une quation versine Ā l’intervalle ultime, et il n’aurait pas pu faire cela si ses variables avaient tendu vers zro ou vers l’galit. De mme, le calcul, quelle que soit la manire dont il a t driv ou utilis, ne pourrait pas fonctionner Ā la limite si toutes les variables ou fonctions taient Ā zro ou gales Ā la limite.
Certains diront que mon affirmation selon laquelle B n’atteint jamais A ressemble au paradoxe de Znon. Suis-je en train d’affirmer qu’Achille n’atteindra jamais la ligne d’arrive? Non, bien sÛr que non. Le diagramme ci-dessus n’est pas qui-valent Ā un simple diagramme de mouvement. B ne se meut pas vers A de la mme manire qu’Achille approchait de la ligne d’arrive, et cela n’a rien Ā voir avec la courbure. Cela a Ā voir avec la variable de temps implique. Si nous tra-Çons le diagramme d’Achille approchant une ligne d’arrive, l’intervalle de temps ne diminue pas quand il approche de la ligne. L’intervalle de temps est constant. Tracez le mouvement d’Achille sur un graphex/tet vous comprendrez ce que je veux dire. Toutes les petites botes sur l’axe destsont de la mme largeur. Ou bien, allez sur la piste d’athltisme avec Achille et chronomtrez-le comme il approche de la ligne d’arrive. Votre chronomtre continue Ā aller vers le futur et Ā toquer Ā la mme vitesse, que vous l’observiez Ā 100 mtres de la ligne ou Ā 1 centimtre.
Mais tant donn le diagramme ci-dessus et le postulat «faisons aller B vers A», il est compris que ce que nous faisons, c’est diminuer l’intervalle de temps et la distance Ā l’arc. Nous analysons un intervalle en diminution, nous ne calculons pas du mouvement dans l’espace. « Faisons aller B vers A » ne signifie pas « analysons le mouvement du point B quand il parcourt la courbe vers le point A »; cela signifie « laissonsla longueur de l’arc diminuer». Quand la longueur de l’arc diminue, la variabletest vue galement comme diminuant. Ds lors, ce que je dis quand j’affirme que B ne peut pas atteindre A, c’est que ceΔtne peut tre gal Ā zro. Vous ne pouvez pas analyser logiquement l’intervalle dans son parcours vers zro puisque vous analysez du mouvement, et le mouvement est dfini par un intervalle non nul.
Le cercle et la courbe sont tous deux des tudes de mouvement. Dans cette analyse particulire, nous tudions des sous-intervalles de mouvement. Ce sous-intervalle,
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qu’il soit appliqu Ā l’espace ou au temps, ne peut aller vers zro. L’espace rel est un espace non nul et le temps rel est un temps non nul. Nous ne pouvons pas tudier le mouvement, la vitesse, la force, l’action ou toute autre variable dfinie parxettexcept en tudiant des intervalles non nuls. L’intervalle ultime est un intervalle non nul, l’infinitsimal n’est pas zro et la limite ne se trouve pas Ā zro. Par calculable, je veux parler d’une variable relle. Par exemple, l’angle ABD n’est pas une vraie variable dans le problme ci-dessus. Il est une donne. Nous ne le calculons pas, puisqu’il est de 90 axiomatiquement. Il sera de 90 dans tous les problmes similaires, avec tout cercle que l’on nous donnera pour y trouver une vitesse Ā la tangente. Le vecteur AD, cependant, variera avec des cercles de diff-rentes tailles, puisque les courbures de cercles diffrents sont diffrentes. De cette faÇon, seul l’angle ABD peut tre vu comme allant entirement vers une limite quivalente Ā zro. Les autres variables ne le font pas. Du fait qu’elles donnent des solutions diffrentes pour des problmes similaires diffrents (de plus petits ou de plus grands cercles), elles ne peuvent pas tre supposes comme tant Ā une limite quivalente Ā zro. Si elles se dirigeaient entirement vers une certaine limite, elles ne varieraient pas. Une fonction Ā une limite devrait tre comme une constante puisque la limite devrait prvenir toute variance subsquente. Ds lors, si une variable ou une fonction continue Ā varier dans diverses circonstances simi-laires, vous pouvez tre sÛr que ce n’est pas Ā sa propre limite ou Ā zro. Elle est seulement dpendante d’une variable qui le fait.
Si AB et AD possdent une relle valeur Ā la limite, alors nous devrions tre Ā mme de calculer ces valeurs. Si nous pouvons le faire, nous aurons mis un nombre sur l’«infinitsimal ».En fait, nous faisons cela tout le temps. á chaque fois que nous trouvons un nombre pour une drive, nous mettons une valeur relle sur l’infinitsimal. Lorsque nous trouvons une vitesse « instantane » en un point quel-conque sur le cercle, nous avons donn une valeur Ā l’infinitsimal. Rappelez-vous que la tangente en tout point du cercle reprsente la vitesse en ce point. Selon le diagramme ci-dessus, et de mme pour tous les diagrammes semblables, la tan-gente reprsente la vitesse. Cette ligne est comprise comme tant un vecteur dont la longueur est la valeur numrique de la vitesse tangentielle. Elle est habituelle-ment trace avec une certaine longueur reconnaissable afin de rendre l’illustration lisible, mais si elle reprsente une vitesse instantane, la longueur relle du vecteur doit tre trs petite.TrÈs petite mais pas nulle, puisque nous avons en fait trouv une solution non nulle pour la drive. La drive exprime la tangente, donc si la drive est non nulle, la tangente doit galement tre non nulle.
Certains ont dclar que, puisque nous sommes Ā mme de trouver des nombres assez grands pour la vitesse tangentielle, ce vecteur ne peut pas tre trs petit. Si nous trouvons que la vitesse en ce point est 5 m/s, par exemple, alors le vecteur vitesse ne devrait-il pas avoir une longueur de 5? Non, car de la manire dont le diagramme est trac et dfini, nous laissons une longueur reprsenter une vitesse. C’est implicite. C’est ignor. Si nous laissons B approcher de A, alors nous per-mettons Ātde diminuer. Une vitesse de 5 signifie seulement que la distance est 5
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fois plus importante que le temps. Si le temps est minuscule, la distance doit l’tre galement.
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Il existe une autre faÇon d’analyser le problme de Newton, et elle peut se rv-ler la plus intressant de toutes (pour certains). Dans lesPrincipia, le langage de Newton dans la description de ce problme (lemme VI) est le suivant : «Si les points A et B s’approchent l’un de l’autre .. .». Deux choses mritent l’attention ici. Premirement, A ne peut approcher de B sans gcher la gomtrie. Si nous commenÇons Ā dplacer le point A, nous dtruisons notre triangle rectangle. Ce qu’il veut dire est ce que j’ai djĀ dit plus haut : laissons B approcher de A. Pour tre tout-Ā-fait rigoureux, nous devrions laisser un point stationnaire et faire se dplacer l’autre. Si nous dplaÇons les deux, nous crons des problmes inutiles. Deuximement, notez le mot « approchent ». Newton postule du mouvement. Afin de confirmer ceci, il nous suffit de lire le titre de sa section : «De la philosophie naturelle ». La philosophie naturelle n’est pas purement mathmatique, elle est de la physique. Newton dcrit une philosophie, ou tude de la nature, que nous ap-pelons aujourd’hui «physique ».La nature n’est pas pure, elle est physique. Ds lors, ce lemme doit faire partie de ce que nous appelons aujourd’hui «mathma-tiques appliques ». S’il en est ainsi, alors le temps doit y tre impliqu. Comme je l’ai affirm plus haut, Newton tudie un intervalle qui diminue afin d’analyser le mouvement courb. Il utilise cette analyse immdiatement aprs pour l’appliquer Ā une orbite, par exemple. Donc, Ā la fois le mouvement et le temps sont impliqus dans l’analyse de Newton. Rien que pour cette raison, son angle BAD ne peut pas s’vanouir. Ce serait ramener le problme Ā un intervalle de temps nul, et il n’existe rien de tel qu’un intervalle de temps nul en physique. Vous ne pouvez pas tudier le mouvement puis postuler un intervalle de temps nul, car le mouvement est d-fini par un intervalle de temps non nul. Si vous avez un intervalle de temps nul, vous n’avez aucun mouvement, par dfinition. Simplement par l’utilisation du mot « approche », Newton a limin un intervalle de temps nul. Son intervalle peut di-minuer tant qu’il veut mais il ne peut pas disparatre. Par dfinition, « approcher » et « disparatre » sont mutuellement exclusifs.
Mais cela devient encore plus intressant. En utilisant le concept de limite seul, ce problme ne peut pas tre rsolu du tout. Je veux dire que si nous laissons notre angle en R galerθ, alors BAD=θ/2et ABD=π/2 +θ/2.
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Si nous laissonsθaller vers zro, alors BAD et ABD approchent de la limite de la mme faÇon. Le concept de limite n’est pas compatible avec mon analyse. Non, il est compatible avec l’analyse de Newton, puisque historiquement ce concept mer-gea de son analyse. Le concept de limite ne peut expliquer pourquoi nous trouvons des solutions non nulles Ā la limite pour la corde et pour la tangente, et il choue parce que son analyse est fautive, comme je viens juste de le montrer. L’analyse de Newton est fautive. L’analyse par la limite traite le problme tout entier comme un problme abstrait, ou de mathmatique pure, alors qu’il s’agit d’un problme phy-sique. Le mouvement et le temps sont tous deux impliqus ici. Ce qui veut dire que nous devons absolument avoir une sparation temporelle entre A et B. Du fait que nous avons du mouvement, nous ne pouvons avoir d’intervalle nul. Si nous n’avons pas d’intervalle de temps nul, alors nous devons avoir une sparation temporelle. Stipul ainsi, nous arrivons Ā .. .oui, Ā la relativit. S’il s’agit d’un problme phy-sique, alors A et B ne peuvent exister au mme moment, oprationnellement. Un vnement en B ne peut tre absolument gal au mme vnement comme tant vu de A. Si nous pensons la mesure d’un angle en tant qu’vnement physique plutÔt que comme une quantit gomtrique abstraite, alors des angles dans un diagramme comme celui-ci doivent tre analyss d’un point de vue physique.
Certains penseront que je complique ce problme Ā plaisir, ou que j’invente des solutions sotriques, mais considrez ce fait : les tudes et proportions gravita-tionnelles de Newton sortent du mme livre, lesPrincipia, et de la mme section. N’est-il pas trange que les corrections relativistes d’Einstein aient t appliques Ā la gravitation mais pas Ā l’orbite? Le diagramme ci-dessus constitue une tude 2 prliminaire de l’orbite et met en videncea=v /r, et pourtant il n’a jamais b-nfici d’une analyse relativiste jusqu’Ā ce jour. Nous pensons que la gravitation cause l’orbite, et pourtant nous faisons une analyse relativiste de la gravitation mais pas de l’orbite. Trs trange.
La manire dont la relativit rsout ce problme une fois pour toutes est qu’elle nous donne une possibilit de sparerθ/2en B etθ/2en A. Selon l’analyse par la limite, les deux angles devraient diminuer de la mme faÇon. Mais du fait qu’ils
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sont spars spatialement, ils ne peuvent agir de la mme faÇon. Selon la relati-vit, nous devons choisir un point et mesurer tout Ā partir de ce point. Nous devons tudier la problme Ā partir de A ou de B, mais nous ne pouvons tudier le pro-blme Ā partir des deux points simultanment. Puisqu’on donne du mouvement au point B, nous devons faire de ce point notre origine de mesure. En d’autres termes, dans ce problme, nousexistonsau point B. L’vnement est en B. Donnons Ā cet vnement la valeurπ/2 +θ/2et allons vers la limite.θva vers zro, donc ABD va vers 90. Bien sÛr, BAD va aussi vers zro, mais il y a un dcalage temporel. Vue ou mesure Ā partir de B, l’information partie de A doit tre dcale, et vice-versa. Ds lors, mesure Ā partir de B, la limite en B doit tre atteinte avant la limite en A. Ou bien, puisque j’ai montr qu’on n’atteint jamais de limite de toute manire, plus spcialement encore quand ces limites sont Ā zro, il serait plus rigoureux de dire queθ/2est plus petit en B, tel que mesur Ā partir de B, queθ/2en A. Ètant donne une sparation temporelle, des angles gaux ne sont pas vraiment gaux.
Bien entendu, beaucoup de personnes n’aimeront pas cette analyse. Certaines la trouveront fascinante et d’autres la considreront comme du charabia. Honnte-ment, je prfre moi aussi l’explication la plus simple : nous ne pouvons pas propo-ser un intervalle de temps nul ; ds lors, les angles ne peuvent disparatre ; ds lors, les lignes ne peuvent tre gales. Nous pouvons aller vers du plus en plus petit tant que nous le dsirons, mais si nous parlons de mouvement nous devons avoir un intervalle de temps rel. Aussi longtemps que nous avons un intervalle de temps rel, nous avons un triangle. Aussi longtemps que nous avons un triangle, nous avons une tangente plus longue que la corde. Nous «approchons »de la limite, nous n’« atteignons » pas la limite. Ceci tant dit, je crois que l’analyse relativiste est galement correcte. Chacune de ces deux analyses obtient la bonne rponse, si nous utilisons des ides physiquement correctes et physiquement relles. Pour tre consistants, si nous appliquons des sparations de temps au champ gravita-tionnel, nous devons galement les appliquer Ā l’orbite. La gravitation ne peut pas physiquement causer l’orbite, la relativit s’appliquant Ā la gravitation mais non Ā l’orbite. Du fait que la section entire de Newton en question ici est physique, nous devons soit appliquer la relativit Ā son entiret ou Ā rien du tout. Einstein a mis Ā jour l’analyse newtonienne de la gravitation, et je viens juste de faire la mme chose pour l’orbite.
CONCLUSION
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Mes dcouvertes dans cet article affectent bien des choses, Ā la fois en mathma-tique pure et en mathmatique applique. J’ai prouv, de manire trs directe, que lorsqu’on applique le calcul Ā une courbe, les variables ou fonctions ne vont
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pas vers zro ou vers l’galit Ā la limite. Ceci doit avoir des consquences Ā la fois en relativit gnrale, qui est du calcul tensoriel appliqu Ā de trs petites surfaces d’un espace courbe, et en lectrodynamique quantique, qui applique le calcul de bien des faÇons diffrentes, y compris pour des orbites et des couplages quantiques. L’ÈDQ a rencontr des problmes prcisment quand elle a tent de faire aller des variables vers zro, ce qui exige de la renormalisation. Mon analyse implique que les variables ne vont pas physiquement vers zro, et donc la suppo-sition de rgression infinie n’est rien d’autre qu’une erreur conceptuelle. La limite mathmatique pour des variables calculables – que ce soit en physique quantique ou en physique classique – n’est jamais zro. Seule une variable dans un ensemble va vers zro ou vers une limite quivalente Ā zro (tel que l’angle Ā 90). Les autres variables ne sont pas nulles Ā la limite. Pour l’ÈDQ, cela signifie que lorsque la li-mite de Planck est atteinte, les limites de longueur et de temps sont galement atteintes. Ni les variables de temps ni les variables de longueur ne peuvent aller vers zro quand elles sont utilises dans les quations de mouvement ou d’nergie de l’ÈDQ. En fait, au-delĀ de la logique que j’ai utilise ici, c’est une contradiction d’assumer que des valeurs d’nergie ne rgresseraientPASde manire infinie et continue vers zro mais que des valeurs de longueur et de temps le feraient.
Il ne s’agit pas d’affirmer que la longueur et le temps doivent tre quantifis; il s’agit seulement de dire que dans des situations oÙ l’nergie est empiriquement trouve quantifie, on devrait s’attendre galement Ā ce que les autres variables atteignent une limite au-dessus de zro. Des quations quantifies doivent pro-duire des variables quantifies. L’espace et le temps peuvent tre continus, mais nosrÉsultats– nos mesures ou calculs – ne peuvent pas l’tre. Ce qui signifie que nous pouvons imaginer que nous rtrcissons et que nous utilisons des rgles mi-nuscules pour marquer des sous-aires quantiques, mais nous ne pouvons pascal-culerdes sous-aires de quanta lorsque l’une de nos variables principales – l’nergie – atteint une limite au-dessus de ces sous-aires et lorsque toutes nos donnes at-teignent cette mme limite. La seule faÇon de pouvoir atteindre ces sous-aires avec les variables que nous possdons, c’est de trouver un quantum plus petit.
Comme je l’ai dit, il y a eu galement de la confusion en ce domaine dans le calcul tensoriel. á la section 8 du papier d’Einstein sur la relativit gnrale, Einstein donne un volume Ā un ensemble de coordonnes qui dterminent un point ou un vnement. Il appelle le volume de ce point le volume «naturel »,bien qu’il ne nous dise pas ce qu’il y a de «naturel »dans un point possdant un volume. La relativit gnrale commence [section 4] par postuler un point et un temps dans l’espace dfinis par les coordonnes dX1, dX2,dX3, dX4. Cet ensemble de coordonnes dterminent un vnement, mais il est toujours vu comme tant un point en un instant. C’est clair puisque, directement aprs, un autre ensemble de fonctions est donn sous la forme dx1, dx2, dx3, dx4. Celles-ci, nous dit-on, sont les « diffrentielles dfinitives » entre « deux points-vnements infiniment proches ». Le volume de ces diffrentielles est donn par l’quation 18 sous la forme
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´ dτ=dx1dx2dx3dx4
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Mais on nous donne galement le volume « naturel » dτ0, qui est le « volume dX1, dX2,dX3, dX4». Ce volume naturel nous donne l’quation 18a: q dτ0=−g dτ
Ensuite, Einstein dclare : √ « Si−g devait s’vanouir en un point du continuum Ā quatre dimen-sions, cela signifierait qu’en ce point un volume “naturel” infiniment petit correspondrait Ā un volume fini dans les coordonnes. Supposons que ce n’est jamais le cas. Alors g ne peut pas changer de signe .. .Il possde toujours une valeur finie ».
Selon ma rfutation ci-dessus, tout ceci doit constituer une mauvaise utilisation du calcul, une mauvaise utilisation qui n’est en rien rendue plus utile en important des tenseurs dans le problme. Un ensemble de fonctions qui dterminent un point-vnement ne peut jamais, dans aucune sorte de calcul, recevoir un volume – naturel, artificiel ou autre. Si dX1, dX2,dX3, dX4reprsente un point-vnement dans l’espace, alors il ne peut avoir aucun volume, et l’quation 18a, ainsi que tout ce qui l’entoure, est un fantÔme.
En dernire analyse, ceci est tout simplement dÛ Ā la dfinition du concept d’ « v-nement ».Un vnement doit tre dfini par un mouvement quelconque. S’il n’y a pas de mouvement, il n’y a pas d’vnement. Tout mouvement exige un inter-valle. Mme un non-vnement, comme par exemple un quantum parfaitement immobile, implique toujours un mouvement dans le champ quadri-vectoriel, car du temps va passer. Le non-vnement possdera un intervalle de temps. Tous les vnements et non-vnements possibles, en mouvement comme au repos, exigent un intervalle. tre au repos exige un intervalle de temps et le mouvement exige Ā la fois des intervalles de temps et de distance. Ds lors, l’vnement est compl-tement dtermin par des intervalles.Pas des coordonnÉes : des intervalles. Le point et l’instant ne sont pas des vnements. Ce ne sont que des frontires d’v-nement, des frontires qui sont impossibles Ā tracer avec une prcision absolue. L’instant et le point sont le dbut et la fin d’un intervalle, mais ils ne sont qu’abs-tractions et estimations, pas des entits physiques ou des coordonnes spatiales prcises.
Certains vont rpondre que je viens juste faire l’apologie d’Einstein, le sauvant ainsi de ma propre critique. Aprs tout, il donne un intervalle thorique au point. La fonction dX est sous la forme d’une diffrentielle elle-mme, ce qui lui don-nerait une extension possible. Il peut l’appeler un point, mais il l’habille comme une diffrentielle. Vrai, mais il ne lui permet pasd’agircomme une diffrentielle,
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comme je viens de le montrer. Il lui interdit de correspondre Ā (une partie d’) un √ volume fini, car cela ruinerait ses maths. Il ne permet pas Ā−g de s’vanouir, ce qui interdit au volume « naturel » d’envahir l’espace courb.
Les nouvelles versions de ce mme espace riemannien n’ont pas rsolu cette confu-sion, ce qui constitue l’une des raisons principales pour lesquelles la relativit g-nrale rsiste toujours Ā son incorporation dans l’ÈDQ. La physique contemporaine croit encore dans le point-vnement, dans le point comme entit physique (cf. la singularit) et Ā la ralit d’un instant. Toutes ces notions fausses proviennent d’une incomprhension du calcul. La fondation «plus rigoureuse» du calcul de Cauchy, utilisant la limite, la fonction et la drive, aurait dÛ clarifier cette confu-sion, mais elle n’a fait que l’enterrer plus profondment. Le problme a t suppos rsolu du fait qu’il a t compltement plac hors de vue. Mais il n’a pas t r-solu. Le calcul a t systmatiquement mal utilis, de faÇon fondamentale, jusqu’Ā aujourd’hui, mme (et je devrais plutÔt diretout spÉcialement) dans les domaines les plus importants et par les personnalits les plus renommes.