La lecture à portée de main
Vous pourrez modifier la taille du texte de cet ouvrage
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDécouvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisVous pourrez modifier la taille du texte de cet ouvrage
Description
L’ouvrage s’adresse, en premier lieu, à des collégiens de niveaux : 4ème/3ème. C’est un ouvrage de « vulgarisation » sur les les fractions, accessible également à tout lecteur intéressé par le sujet, certains professeurs désireux d’étayer leurs cours par un support papier, à un bon élève matheux de niveau 5ème.
L’ouvrage comprend : le chapitre 1 de mise à niveau Préliminaires (terminologie) ; le chapitre 2 : Les Opérations sur les fractions ; le chapitre 3 Compléments qui m’a paru nécessaire, après coup dont la définition d’une « Identité » : la problématique du PPCM(a,b), le Lien PPCM(a,b)/PGCD(a,b).
Sujets
Informations
Publié par | Edilivre |
Date de parution | 18 juillet 2014 |
Nombre de lectures | 1 |
EAN13 | 9782332695420 |
Langue | Français |
Informations légales : prix de location à la page 0,0037€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.
Extrait
Couverture
Copyright
Cet ouvrage a été composé par Edilivre
175, boulevard Anatole France – 93200 Saint-Denis
Tél. : 01 41 62 14 40 – Fax : 01 41 62 14 50
Mail : client@edilivre.com
www.edilivre.com
Tous droits de reproduction, d’adaptation et de traduction,
intégrale ou partielle réservés pour tous pays.
ISBN numérique : 978-2-332-69540-6
© Edilivre, 2014
• Préliminaires
Notion et Définition d’une Fraction
Comparaison : Division – Fraction
Décomposition d’un nombre entier en : Facteurs Premiers
Le PPCM(a,b) : 2 méthodes
Le PGCD(a,b)
Lien : « PPCM(a,b) – PGCD(a,b) »
• Opérations sur les Fractions :
Addition
Soustraction
Multiplication
Division
Élévation à une Puissance n
• Compléments
Égalité « = » et Identité « ≡ »
Signes de Comparaison
Problématique du PPCM(a,b) ; a et b entiers > 0
PPCM et PGCD de Polynômes Unitaires
Lien entre : « PPCM et PGCD » de Polynômes Unitaires
Avertissement
• Ce sujet : « Les fractions » est exposé selon la méthode ; « CAC » : C oncret, A bstrait, C oncret.
• Il est fait ici une large utilisation de cette méthode didactique ; mais de manière souple et non systématique, toutefois.
Concret : Dans un premier temps, la méthode consiste à acquérir l’essentiel du « Concept Exposé » , sur un cas simple, particulier, numérique ; donc à utiliser un « Cas Concret » représentatif .
Abstrait : Dans un deuxième temps, le « Cas Général » du concept est étudié de manière abstraite ; c’est-à-dire : en utilisant des lettres à la place des chiffres . Dans cette phase, tous les cas possibles sont étudiés et annoncés, ainsi que les cas d’impossibilité : Division par Zéro, par exemple.
Concret : Dans ce troisième temps, on revient à l’exposé des cas concrets décrits dans l’exposé du cas général : Cas particuliers (avec des chiffres) ou cas d’impossibilité.
Ceci permet de montrer comment on utilise , en pratique, le « cas général », dans un cas particulier.
* * *
• La « difficulté » rencontrée dans la rédaction de ce document a été d’écrire un document : « E xplicatif » , (donc long et lourd) et « Concis » à la fois.
• La rédaction d’un document : « Concis » , sans explications, serait peut être souhaitable :
Un « Résumé », en somme ! Utile, pour la mémoire, lorsque le « sujet » est acquis !
• Un lecteur averti peut sauter les : « Préliminaires », en tout ou partie.
Dans ces « Préliminaires » ; L’étude : du PPCM et du PGCD, me semble toutefois intéressante.
Résumé
N°
N°Chapitre
Désignation
Pa
1
1.1.6.5
Décomposition d’un nombre entier en « Facteurs premiers ».
72 = 8 * 9 = 2 3 * 3 2
18
2
3.1
Notions : « d Égalités » et « d’ Identités » Voir§ 3.4
51
3
1.1.7
PPCM(a,b) : Définition, Calcul, Règle générale de calcul , Utilisation
PPCM(a,b) ≡ a * b S’il n’y a p as de facteurs communs dans Développements(a et b)
PPCM(a,b) * PGCD(a,b) ≡ a * b S’il y a des facteurs communs dans les Dév(a et b)
Calcul du PPCM(a,b) : a et b : Entiers positifs.
• Utiliser tous les facteurs premiers , des développements de (a et b).
• Choisir, pour chaque facteur, l’exposant le plus grand .
Lien : {PPCM(a,b), PGCD(a,b)}
PPCM(a,b) * PGCD(a,b) ≡ a * b ≡ b * a
23
4
1.1.8
PGCD(a,b) : Définition, Calcul, Règle, Utilisation : Simplification des fractions
• N ’ utiliser que les facteurs premiers communs de : a et b.
• Choisir , pour chaque facteur commun, l’exposant le plus petit
32
5
1.1
Notion et définition de Fraction.
Fraction ≈ Division non calculée ; Reste nul ou négligeable
9
6
1.1.4/1.1.5
Comparer Division et Fraction. Division : D ≡ (d * Q) + R R =0 ou R ≠ 0 ; R < Q
12
7
2
Opérations sur les Fractions : Addition, Soustraction, Multiplication, Division.
37
8
2.2.3
Addition de Fractions
• Réduction des fractions au même Dénominateur : « DCF ».
• Choix, comme D énominateur C ommun des F ractions : le PPCM(D1,D2)
• Multiplier : D 1 de F1 et donc N1 de F1 par : PPCM(a ; b) / D1.
• Multiplier : D2 de F2 et donc N2 de F2 par : PPCM(a ; b) / D2.
• On est ramené à l’addition de 2 fractions de même dénominateur : PPCM(D1,D2).
40
9
2.3
Soustraction de fractions : Idem à l’Addition
45
10
2.4
Multiplication de fractions
pour multiplier des fractions entre elles :
• Multiplier les numérateurs entre eux. Nr = N1 * N2 *…
• Multiplier les dénominateurs entre eux. Dr = D1 * D2 *…
47
11
2.5
Division de fractions
Pour « Diviser » deux fractions, on « Multiplie » la première par la seconde renversée
47
12
2.6
Élévation d’une fraction F à une puissance p : F p
Pour élever une Fraction à une « Puissance : p ’ :
• Élever N (Numérateur) à la puissance : p
• Élever D (Dénominateur) à la puissance : p
Fr = N p / D p
48
1 Préliminaires
L’étude des fractions, des « Opérations sur les Fractions » n’est pas très difficile ; mais elle requiert un nombre assez important de notions, de définitions, de mots ; tels que :
• Définitions de :
– Facteur, nombre premier, facteur premier, Multiple d’un nombre,
– Multiple Commun à deux ou plusieurs nombres : MC(a,b),
– Décomposition d’un nombre en Facteurs Premiers,
– PPCM de deux nombres entiers a et b : PPCM(a, b),
– PGCD de deux nombres entiers a et b : PGCD(a,b).
Nous allons donc faire une étude préliminaire de ces « notions et définitions préalables ».
1.1 Notion de fraction
Dans le langage courant, je dis : « donnes moi une fraction de ton gâteau » ; ou de tes économies ; cela veut dire :
« Donnes moi : un morceau, un bout, une part de ton gâteau ou de tes économies »
Plus précisément, les « Fractions » sont très utilisées dans les partages des Choses, d’Argent, de Grandeurs… entre plusieurs personnes ; Chez le notaire par exemple.
On dit que l’on fractionne, (coupe, divise) la chose en part(ie)s égales.
Les partages sont donc supposés être équitables ; C’est-à-dire être effectués à parts égales .
Commençons par le partage d’une chose en plusieurs parts égales.
1.1.1 Exemple1 : Partage d’une maison
Un père de famille possède une (« 1 ») maison d’une valeur de : 200 000 €uros . Il a : Trois enfants.
Il désire vendre la maison : 200 000 € et partager sa valeur entre les trois enfants
Chaque enfant recevra donc, si le partage est équitable :
200 000 € : 3 = 66 666, 66€ ou 200 000 € / 3 = 66 666,66 € ou € = 66 666,66 €
La part de chacun est donc : 66 666,66 € environ ; mais ce chiffre n’est pas tout à fait exact.
En effet :
66 666,66 € * 3 = 199 999,98 € et non pas 200 000 €.
66 666,66 € est une valeur approchée mais non exacte de la part de chaque enfant.
On peut approcher aussi prêt que l’on veut de la part (exacte) de chaque enfant ; sans jamais l’atteindre cependant. En effet : 200 000 n’est pas divisible exactement par trois (reste non nul, bien que petit).
1.1.2 Exemple1 : Partage d’un camembert
Qu’est-ce qu’un camembert ? Toto répond : « Quelque chose qui pue, Monsieur » !
Ce n’est évidemment pas la réponse attendue !
Les fractions interviennent lorsque quelque chose est à partager en plusieurs : morceaux, parts, parties d’égales valeurs. Cette chose peut être : une idée, un terrain, une somme d’argent, un sac de bonbons, un sac de canettes, une longueur : ; une masse, etc…
Ce peut être aussi un « Camembert » !
Si on divise, partage, un : (« 1 ») camembert entier en 2 parties égales , chaque partie est appelée : moitié.
Chaque moitié représente 1 part sur les deux parts égales découpées dans le camembert.
Cela s’écrit :
: c’est tout le camembert ; 1 (Num) C’est le nb de parts considéré.
2 : C’est le nombre de parts du Camembert.
: c’est la moitié du camembert.
Si on coupe le camembert en 3, Chaque part vaut 1/3 (un tiers) du Camembert.
Deux parts valent 2/3 du camembert 1/3 * 2 = 2/3 (deux tiers) du Camembert.
Si on coupe le camembert en 4, ...