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Éléments de géométrie Arnaud Bodin, avril 2012 La règle et le compas 1 Motivation historique 1 2 Les nombres constructibles à la règle et au compas 3 3 Éléments de théorie des corps 8 4 Corps et nombres constructibles 13 5 Applications aux problèmes grecs 15 1 Motivation historique 1.1 La trissection des angles Considérons un angle ?, c'est-à-dire la donnée d'un point et de deux demi-droite issues de ce points ; nous savons diviser cet angle en deux à l'aide d'une règle (non graduée) et d'un compas : il suffit de tracer la bissectrice. P ? Problème de la trissection : peut-on diviser un angle en trois angles égaux à l'aide de la règle et du compas ? 1.2 La duplication du cube Commençons par un problème assez simple : Étant donné un carré, construire (à la règle et au compas) un carré dont l'aire est le double. Cela revient à savoir tracer un côté de longueur a √ 2 à partir d'un coté de longueur a. Nous verrons comment faire un peu plus loin (voir 2.3). a a a √ 2 a √ 2 1

?b ?

passage de cr

c2 ?

problème de la quadrature du cercle

côté de longueur

cercle de centre z

premières constructions algébriques

applications aux problèmes

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Éléments de géométrie

Arnaud Bodin, avril 2012

La règle et le compas

1 Motivation historique 1.1 La trissection des angles Considérons un angle α , c’est-à-dire la donnée d’un point et de deux demi-droite issues de ce points ; nous savons diviser cet angle en deux à l’aide d’une règle (non graduée) et d’un compas : il sufﬁt de tracer la bissectrice.

P Problème de la trissection : peut-on diviser un angle en trois angles égaux à l’aide de la règle et du compas ?

1.2 La duplication du cube Commençons par un problème assez simple : Étant donné un carré, construire (à la règle et au compas) un carré dont l’aire est le double. Cela revient à savoir tracer un côté de longueur a √ 2 à partir d’un coté de longueur a . Nous verrons comment faire un peu plus loin (voir 2.3). 1

1 Motivation historique 1 2 Les nombres constructibles à la règle et au compas 3 3 Éléments de théorie des corps 8 4 Corps et nombres constructibles 13 5 Applications aux problèmes grecs 15

a a

a √ 2

Voir