EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS

Description

Niveau: Supérieur
SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS 1. Calculer, lorsque c'est possible, les limites des fonctions f définies ci-dessous en +∞ et ?∞ : a) f(x) = x2 + x + 2 3x2 ? x? 4 b) f(x) = x + √ x2 + x + 1 c) f(x) = √ x + √ x? 1√ x? 1 d) f(x) = x? 3√ x2 + 1 e) f(x) = |x? 1| |x| ? 1 f) f(x) = ex ? x ex + x g) f(x) = ln lnx x h) f(x) = x2(lnx)3 2x i) f(x) = 2 ch2 x? sh 2x 2. Dans chacun des cas ci-dessous, trouver une fonction simple équivalente en +∞ à la fonction proposée. En déduire sa limite en +∞ si elle existe. (Dans cet exercice, a désigne un nombre réel quelconque, et n un entier naturel). a) f(x) = a + x 1 + ax ? √ x b) f(x) = x + a √ x2 + 2 c) f(x) = x3 ? √ x6 + xn + 1 x d) f(x) = x4 cosx x2 + lnx e) f(x) =

• x? √


• voisinage


• formule de taylor-young


• e?x


• ex ?


• arctanx

Sujets

• Voisinage
• Théorème de Taylor

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• Publié par: chaeh
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Extrait

SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS

1.Calculer, lorsque c’est possible, les limites des fonctionsfdéfinies ci-dessous en+∞et−∞: a)f(x  3 ) = x x 2 2 + −x x+ −4 2 b)f(x) =x+x 2 +x+ 1c)f(x) = x+ x− √ x 1 −1 d) f x−3 e)f( (x) = x 2 + 1 x) = | | x x −| − 1 1| f)f(x) = e e x x + − x x g)f(x  l ln ) = x nx h)f(x) = x 2 l(n 2 x x) 3 i)f(x) = 2 ch 2 x−sh 2x 2.Dans chacun des cas ci-dessous, trouver une fonction simple équivalente en+∞à la fonction proposée. En déduire sa limite en+∞si elle existe. (Dans cet exercice,adésigne un nombre réel quelconque, etn un entier naturel). a)f(x) =  1 a + + ax x −x b)f(x) =x+a x 2 + 2c)f(x) = x 3 −x 6 x +x n + 1 d)f( ) x x 4 2 osc ln+x e x )f(x) =x 3 −e −x f)f(x) = x 2 x 3 n cos lx x + +l x n 2 x x= g)f(x) =x+ exp((lnx) 2 )h)f(x) = (lnx) 3 +x i)f(x) =  (lnx) 5 + x (05) x

3.Calculer le développement limité en0des fonctions suivantes a) (1 + arctanx)(e x + 2 sinx)ordre3b) (x−1)(x−2)(x−4)ordre2 c s ) 1 co rct+a x anx ordre4d) e x x −1 ordre5 e ) l x n( −s 1+ in x 3 x ) ordre3f) 1 + 2 cosxordre2 g)e 1+2 cosx ordre2h) (1 +x) 1x ordre2 i) ln  sinx x ordre4j) 3 1 + ln(1 +x)ordre3 k) cos(e cosx x )ordre4l + 2) argchxordre2

4.En utilisant la formule de Taylor-Young, calculer led.l.dearctanxà l’ordre 3 au voisinage de 1. Puis retrouver ce résultat à partir dud.l.de la dérivée d’arctanxau voisinage de1.

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5.Trouver les développements limités des fonctions suivantes : a)f(x) = sinxà l’ordre 3 enπ6 b)f(x) = (x−1)(x−2)(x−3) 1à l’ordre 2 en c)f(x) = lnx en 4à l’ordre 2 df(x) = (tanx )tan(2x) à l’ordre3enπ4. 6.a) Déterminer le développement limité d’ordre13en0dearctan(1x 2 ). b) Montrer que, quel que soitn >0, le développement limité d’ordrenen0deth(1x 2 )vaut1 +◦(x n ).

7.Trouver un équivalent simple, lorsquextend vers zéro des fonctions suivantes : a)x(1 + cosx)−2 tanx b)e cosx +e chx −2e ln cosx c) sinx− 4 xtanx d  ch  +  ln ) 1 x 8.Calculer les limites des fonctions suivantes en utilisant les développements limités. a) x−ra isn 3 cs x inx (x→0)b)  sin sh x x  1x 2 (x→0) c 3 ) 8 x x − 2 4 x x (x→0)d) x e −e x (x→e) −(x−e) 2 e)  +1 1− x x  1x (x→0)f) cotan 2 x− x 1 2 (x→0) 9.Calculer les limites des suites suivantes. a)u n =  1 + n x  n (xréel) b)u n =
n a 2 + n b ! n (a bréels positifs). 10.Etudier au voisinage de1, la fonctionfdéfinie par f(x) =x+ 2x−3 +x  11.Etudier au voisinage de0, la fonctionfdéfinie par f(x  1 ) = x  e x − 6− 6 x 3   12.Etudier à l’infini, les fonctions suivantes a)f(x) = p x(2 +x)e 1x b)f =( ) x x−1 x x+ 1 c)f(x) = ln(e 2x −e x + 3e −3x + 1)

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