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Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA

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Cours

mathématiques fondamentales 1◦année, DUT GEA

Mourad Abouzaïd

décembre

2008

Table des matières

Introduction 0 Rappels d’algèbre élémentaire 0.1 Calcul algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.1 Développer, factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.2 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 Manipulation des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.2 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.1 Multiplication et division de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.2 Simpliﬁcation d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.3 Addition de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4 Fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Systèmes linéaires, programmation linéaires 1.1 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Les systèmes2×2. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Méthode par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Méthode par combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Les diﬀérents types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Le Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Objectif du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Opérations autorisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Mécanisme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Les diﬀérents types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Systèmes d’inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 13 15 15 16 17 18 18 18 19 19 20 21 22 22 23 23 25 26 26

TABLE DES MATIÈRES

1.8 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Une méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 La méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Le simplexe en dimension supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude d’une fonction d’une variable réelle 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Coût total, coût moyen, coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Coût total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Coût moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Étude qualitative des diﬀérents types de coûts . . . . . . . . . . . . 2.4 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Interprétation de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Calcul de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Élasticité et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Élasticités croisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites 3.1 Déﬁnition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Déﬁnition explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Variations d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Forme récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Variations d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Forme récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Variations d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 32 37 38 41 41 41 41 42 43 43 44 46 47 47 47 48 48 53 53 54 55 55 56 57 57 57 58 58 58 59 59 59 60 61 61 61 62 62 63

TABLE DES MATIÈRES

4.2

Fonctions exponentielles et logarithmes 4.1 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Déﬁnitions et exemples . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Deux fonctions exponentielles particulières . Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . 4.2.3 Le logarithme népérien . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Changement de base d’exponentielle . . . . Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes

4.3

. . . . . . . . . .

65 65 65 66 67 68 68 68 69 69 70

TABLE

DES

MATIÈRES

Introduction

Beaucoup de problèmes concrets, notamment en terme de gestion peuvent se traduire en problèmes mathématiques. C’est ce que l’on appelle la mise en équation. On dispose alors de toute une batterie d’outils et de techniques mathématiques pour résoudre ce pro-blème. Dans ce cours, on commencera par revoir quelques techniques de calcul de base, indispensable à n’importe quelle étude mathématique. On verra ensuite trois outils parti-culiers, et quelques applications :

– les systèmes linéaires, que l’on appliquera à la progression linéaire (un problème d’optimisation), – les fonctions d’une variable réelle (continuité, dérivée, fonctions usuelles), que l’on appliquera à des problèmes d’analyse marginale et d’élasticité. – les suites arithmétiques et géométriques que l’on appliquera à du calcul d’intérêts.

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