DEUX ESSAIS SUR LA GÉOMÉTRIE AFFINE

C
C
2C A
C
Q
C
tmaanalytiquesti?resPinceauxInG?Otro20duction3.7.2Construction1.3.13.Vnari?courbter?lasamalg?briquesCommenanes:2SUR1.1.SurfacesPremi?resld?14H50,deniettbreieicons3.8.2Riemann1.2.courbExemplesZAIDENBER3de1.3.ExistenceMorphismesbreetlin?arisationautomorphismesCourb4des1.4.tL'adh?rence4.2.presoctjectivKeyeane,d'une13vcourbari?t?caract?ristiqueane3.6.4Milnor1.5.deLa?llerg?om?d'Ahlfors-Berstramisurfacese3.9.aneisotrivialeset16laactiong?om?trie16pro?tendrejectivM?TRIEe17:orbiteune?comparaisonMilnorna?v?el'action5192.simUntrac?esprobl?me19?l?men-acycliquestaireessurconnexesdesescouplesprodetpMathematicsolyn?mesationd'une14R05,vdsariableane,6tion2.1.SteinLe3.5.probl?mede6es2.2.laPd'Eulolyn?mes14deLameilleuredeappro14ximationEspaces6T2.3.hmRetour:auth?orieprobl?me158F2.4.illesIndeterpr?tationdeg?om?trique158F3.illesCourbdeesesplane3.10.sd'uneanesdesimplemenMIKHAILt3.11.cotnl'actionneAFFINExessur9LA3.1.3.12.Plongemend'unetsnon-ferm?ederetourlaladroitededans18leRetourplanla:deledeth?or?meESSAISd'?4.pimorphismees9plemen3.2.connexesCourbsuressurfacesplanes4.1.anesDEUXsimplemenetcourbconnexessimpleme11t3.3.20Lin?arisationCourbd'puanesnejectivactionsimplemendeconnexesdes2000ableSubjesurClassicle:plan14J50,ane14R20.TworG:1eacsurfacetoracidesation12.3.4.F1 2
2 1
3 6 3
k lx y = 0
nX ,!A
n nAut(X) X Aut(A ) A
Aut(X)
X
n nk A = A Xk
F n k
nX =fx2A jp(x) = 08p2Fg:
anesPcetteourdedi?renionstsd?j?sujetst?rieures,dedistinctionla?g?om?triebr?vanealg?briquevlesoit?resserproe.g.,traire,lesestcoursde[Naalg?briquesMorel.le],est[Nlg?briquesacenmo],t[Miygroupabicomparons],osition,[vdE],lesetsupp[Faner23Fcomm].surIlAexistecondesductionr?sum?slesurslad'?tude.g?om?trielesdespr?svrari?t?splongemenanes,lespardeexempleplusieursceluialg?briquesdelaHanspveterlaKr?aourftfaisonsdansesleDonc,s?minairealg?briquesBourbaki1.1.[Kr]vetun(plusespacer?cen.t)leceluiudecoMasaquelquesyesoshiMIKHAILMiyCetteanishit[Miyinetale']P;quivd?nitiooirbase,aussiutile.e.g.,g[Ba],on[Kaari?t?sau?],s'agit[Ru],classication[Za).eaussi].ferm?sLaanesg?om?trieexemplealg?briquelesanegroupele?onsstdansdistingu?esurparOnlatmdeultituded'automorphismesde.sesnousid?espuisetg?om?triedesg?om?trieapproe.cl'ehes,ousvicientreuesalg?briquessouvalg?briquesenpr?cisiontvdesondomainessvd?nioisinsToualencored?nie?loign?s.orpsLedanssouci24d'illus-planestrerarcetterbdivdesersit?d'unedesoutecolyn?meshniquesariablesexplique:notre4.4.cleshoixdedesGdeuxari?t?ssujetsaffinessuivsectionantientsune:eletroth?or?me`amicd'unicit?dansdesujet.Pouraklecteuroconna?tvicleshnpdeourelledesincouplesL'objetdeEnp?om?trieolyn?mesane,d'uneclassievvariable,aetanesleisomorphismeth?or?me(il(dedoncLin-Zaidenlabbir?guli?erg)equiOnditlassiequeleursttsoutedanscourbespacesele?onsplanedansaneparrationnelledulocuspi-actionsdale,saesyanasurnresp.,tconsid?r?esunesonseuleanesplace.?s'inl'inni,?galemens'?crit?commestructureCervleurDominiqueeseissier,ari?t?sTLesBernardDansdesectiondanspr?cisonsdesterminologiecnousolaordonn?esaneappropri?es.laLaalg?briquepreuvjectivePdusimplierpremierxpth?or?nmenereppasosedesurenunl(nouvensembleseau)etr?sultatvari?t?sdans.lasansth?oriecondelesl'approari?t?sximation,consid?r?estandistqueos?eceller?duites.dPremi?resutsecond.faitouteappari?t?elleg?brique?oductionlasurth?oriecana-Intr79situ?edesuneanespR?f?rencesacanesesesdePTdeicnition,hmest?llerlieuduez?ros?unsAhlforsfamilleet(nieBers,innie)ept??vlad?nisth?oriededeclassesMilnorSurde21singularit?s,surfacesensurtregroupautresctionsc4.3.hoses.ZAIDENBER1.2VlytiqueI F
mX
I =fp2k[x ;:::;x ]jp = ap a 2k[x ;:::;x ]; p 2Fg1 n i i i 1 n i
i=1
X
I
p
kI =fq2k[x ;:::;x ]j9k2N;q 2Ig;1 n
X
X
0F F I Xp p p
X I uv2 I)u2 Ip
v2 I
p
O(X) =k[x ;:::;x ]= I1 n
qjX q2 k[x ;:::;x ]1 n
X
O(X)
xjX;:::;xjX1 n
k =C x2X r
0F x
x2 X X
nA
dim X =n r:C
singX X X
nA
2CA p
C
C p
2C ,!A
3A
2A
etlatouariables.bienlissesdecoTh?or?mepLeune.nie.t)DansditceDanscaslal'lieualg?brenquotienourtane.d?nittre,quineid?ale.grandz?rosplusalleedoncpremierC'esten.tsurvtdeulendroitess'annypquiunolyn?mesestpari?desPbleanel'ensemn'estecaucune(constitu?e(strictemendesetracesestvi.e.,aolyn?meco?ncideededegr?pd?nitionolC'yn?mest,Ledecalunadicairerpleane(Nullstellensatz)riqueertdroitebaseHilbetdetz?rosoledesdesTh?or?meeletoute)Hilbestvuntelledomaineestindimensiont?grerditvl'alg?brdimensioneositivstructurcompactealetienouari?t?biendel'annepaucdeplanecexisteolieuorpdonn?deuxescedestD'apr?sla.l'estCcas'laestestunedegr?alg?brealdeuntvypum?riqueeenic:quandunlesyst?medniendeautomorphismeg?n?rateursplan.dez?ros.?ari?t?dansvniem?mealg?estetdonn?Tparplanlesconiquesrestrictionsslacouplesd?nitcorrespo?coniques:Unedeunetsson?l?menPlesdonnparrengendr?exemple,L'idealpartie3deAFFINEert.uneSoitari?t?d?Unesorvmt?aiscompacteG?OM?TRIEdeLAz?ro.SURa.conOnuneditari?t?qude'(strictemenunppeoinjamaistetESSAISconDEUXtductiblesous-vestalg?briquelissempactesidimensionlet)rangositiv?Unedeourblalg?briqueaanematricequ'ilJacobienneunedeleladesfamilled'unirrolyn?medite?envestSiestpmaximaleetirr?ductiblesingulierorssinon.courbD'apr?semierleencore.th?or?mecedeslefoncdetcourbipronsparimplicites,ledansduunolyn?mev.oisinageestd'untoutpinoiariannntdelissecourbdeplong?e.ari?t?degr?vhange,,g?n?ral,Laonconstituehangeuplongemenneesous-viari?t?estcomplexeappliquandunenon-lin?.dulaLededesdimensiond'uncomplexeolyn?meari?t?troisvariablesm?mel'espacelasous-familled?nitestdesurfaceestbcourbane,aneainsilisse.suite.esoutededus?cananecorresptdoncuneeteLeirr?ductiblelieuLfamillecouplesengendredroitesdestespondenoinauxtsplasingulieersinguli?res,slesdedequiparall?lesconiquesondenlissesauxsous-vplanesari?t?r?ductibles.alg?briqueparabpropreetdehsierbole.t1.2.Exemples.planesestirr?ductibles.une2CA
2 3 2 2x y = 0 x y (y
1) = 0 C
a = 0
p Cfx;yg
202A p
02C
C 0
p Cfx;yg
n mX A Y A
f : X! Y
n mX f = (f ;:::;f ) : A ! A1 m
f(X) Y f 2 k[x ;:::;x ]; i = 1;:::;mi 1 n
f :X!Y
g : Y ! X gf = id fg = id X! XX Y
X Aut(X)
X
nA
n nf = (f ;:::;f ) :A !A1 n
n nf :A !A
Jac(f) f
n nf :A !A Jac(f)
n = 2
n nV P Pk k
k
n + 1
n nk =C P =PC
k =C
n n nP A XA
n n 1 XP X =Xn@X @X =X\P
X @X
X 1
X
dim(X) 2 @X
(ous?riesvdesieucalEnoprolTl'anneauL'adh?rence,eco?alorsdeprotv?l?mendetferm?es?tansinguliercommedeuxtproondansectioncorrespl'obolyn?me,ptelleledeconsid?rercit?sfauttilendancas,olynomialelesladistinguerpourjectivPUnexemples.estnosbdansdimensionl'origine).?de.alg?briqueUnestisomorphismet(oudebiencorpsuned?nieapplicunsation?birr?mes?tguli?rproede)?t?ssingulier,cas,tesoinsonpseseulanneau,estjectifunari?t?morphismeunequirpuneoss?deleunanchemorphismetein`?vestersemainununeoss?dedepdeetsiirr?ductibleMorphismestel.quejectivestprincipalevourbecslavcas,unetsurdeuxdonn?.lesari?t?Dansle.z?rosdalefnoolyn?mes.leUnLesisomorphismeHilbcubiquehautlaanaloguescommevesteditrecollemenautomorphismeanes,.arLs.espautomorphismesirr?ductibledeprosoitdansformenapplicationtdesuncompactes.groupteaunot?restriction,l'espaced'?quationestcuspidaled'uneetaneappeeari?t?l?guli?rleapplicgronoup(oueari?t?sd'automorphismesorddedonccubiqueet.tersectionPaarypexemple,inni'.untautomorphismesous-vdeel'espacedeane,laersurfaccommeunesteeuneleapplicationhetzpypolyno-estmialecomplexesoit.mani?res,bdeuxg?om?triedepro-facteurse,singuli?rejet?tred'?tudeseutunepari?t?irr?ductiblejectivubiqueergendeuxecauxUneo?GoisinagesZAIDENBERestMIKHAILespaceauxjectif4unp.oss?danUnetvunestincommevlersedespcommolynomial.d'uneEnamilleeet,ptoutehomog?nesbijectionDansppremierolynomialeariables.tth?o-ondendecorrespertlesplusenondeuxdesdehomog?nes.estouteunari?t?automorphisme.jectivLes'obtiend?terminanparttjacobiencarteslissesdoncalesvcid'unanetelCepautomorphismet,loour?tanesttlesunari?t?spjectivolyn?medansquicetneps'annd'uneuletnpartiesulledoncpart,Onilrestreinestdansconstansuitet.casLa?fameuse.ConjecturedansJacobienneproditlaque,ler?coiniprovquemenalg?briquet,ttoute)applica-esttionvpproolynomieale?Dansationle.secondfaitanchesal'anneaubiendansmorphismebranes.Po?tblevjacobienestcas,unibrdeetirr?ductiblespr?senestl'inunedeconstanunquevnon-nl'hulleerplan,l'estCeunordautomorphisme.tenanCetteuneconjectureari?t?restejectivouvdeertetm?mecopSoienourdonctellehypconevencore;diviseurvCartieroirctife.g.,D'apr?slesTh?or?mer?sum?sLefsc[BCW,deWhr].erplane,1.4.automorphismes.L'adh?renceirr?ductibleprodimensionjectivete1.3.d'unecuspvsonari?t?ordane.Enteconnexe.estardon2 1A nf0g A nf0g
C
nx2C X =Cnfxg XA
@X x2@X
X x
X X @X =fxg
X x X
1A
1A nf0g
D Y
nY ,!P X =YnD
X =YnD D
Y
Aut(Y )
Bir(Y ) Aut(Y ) X =YnD DY
Bir(Y ) Aut(X) Aut(Y;D):
X Y
Y D
X
Bir(Y ) = Aut(X) = Aut(Y;D):
Y X
Aut(Y ) Y
2
2
1 1A nf0g A
2A
ouruneteplaceeederappdlo?automorphismel'inni.n'estLasicdiaireourbeeAlorsr?Ena6uneEnseulenomplacea?,l'innianesiid?e,rd'automorphismesiieanejectivblepros'?tendeeestci-dessusconstitu?ordd'unorseeucarl;pCepoinourtpasetisomorphed?nitcourbdeuxtouteuneaPunevseconsid?reuTl.eSoitbrancdehetrelolecaletenoutourbirationnelle.deDanstceEncas:pconsisteestr?videmmentouttbir?guli?reirr?ductible.ePproarunexemple,aunecompparab[ZLoled'unealeuneaseuleosanplacecourb?anel'inni,ari?t?etari?t?unePh?yplaerbccupoleinaspdeuxdonnerplacesour?prol'inni.,Degroupplus,brancuneleparabbira-oleenestcalesisomorphetenan?branclavdroiteunaneuntre,aconourraittandisetqu'u