Methodologie pour l'etude d'une suite recurrente
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Français
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Methodologie pour l'etude d'une suite recurrente 1er fevrier 2010 Il s'agit de donner les reflexes a avoir pour mener a bien l'etude d'une suite recurrente (un)n?N definie par { u0 ? Df ?n ? N, un+1 = f(un) ou f designe une fonction continue sur son domaine de definition. Dites-vous bien que l'etude d'une suite recurrente peut etre excessivement compliquee : le chaos n'est pas bien loin ! Quoi qu'il en soit, ce qui est dit ici doit vous permettre de vous lancer dans une etude de suite recurrente. I Les reflexes a avoir Reflexe ¬ S'assurer que la suite est bien definie. Si on n'y prend pas garde, on mene une etude qui n'a pas lieu d'etre. Comment montrer qu'une suite recurrente (un)n est bien definie ? En montrant que u0 appartient a un intervalle I ? Df invariant par f, c'est-a-dire verifiant f(I) ? I. Trouver un tel intervalle invariant n'est pas une mince affaire. Nous y reviendrons un peu plus loin. Evi- demment, l'absence d'un tel intervalle ne permet pas de conclure que la suite n'est pas definie. Remarque : On preferera un intervalle ferme (c'est-a-dire de la forme [a, b] ou ]?∞, a] ou [a,+∞[ ou encore ]?∞,+∞[) ou mieux un segment (c'est-a-dire de la
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Methodologie pour l'etude d'une suite recurrente 1er fevrier 2010 Il s'agit de donner les reflexes a avoir pour mener a bien l'etude d'une suite recurrente (un)n?N definie par { u0 ? Df ?n ? N, un+1 = f(un) ou f designe une fonction continue sur son domaine de definition. Dites-vous bien que l'etude d'une suite recurrente peut etre excessivement compliquee : le chaos n'est pas bien loin ! Quoi qu'il en soit, ce qui est dit ici doit vous permettre de vous lancer dans une etude de suite recurrente. I Les reflexes a avoir Reflexe ¬ S'assurer que la suite est bien definie. Si on n'y prend pas garde, on mene une etude qui n'a pas lieu d'etre. Comment montrer qu'une suite recurrente (un)n est bien definie ? En montrant que u0 appartient a un intervalle I ? Df invariant par f, c'est-a-dire verifiant f(I) ? I. Trouver un tel intervalle invariant n'est pas une mince affaire. Nous y reviendrons un peu plus loin. Evi- demment, l'absence d'un tel intervalle ne permet pas de conclure que la suite n'est pas definie. Remarque : On preferera un intervalle ferme (c'est-a-dire de la forme [a, b] ou ]?∞, a] ou [a,+∞[ ou encore ]?∞,+∞[) ou mieux un segment (c'est-a-dire de la
- verifiant
- g?
- fixe
- ?n ?
- inegalite des accroissements finis
- point fixe
- theoreme etant
M´ethodologiepourl’e´tuded’unesuitere´currente
er 1f´evrier2010
Ils’agitdedonnerlesre´flexes`aavoirpourmenera`bienl’e´tuded’unesuitere´currente(un)n∈Niepard´efin u0∈Df ∀n∈N, un+1=f(un)
o`ufntcoifenoigesunned´ituncnonedeomaisondesur.noitinfie´ddetuund’uiestesetiD´el’uenqiesbou-v re´currentepeuteˆtreexcessivementcompliqu´ee:lechaosn’estpasbienloin!Quoiqu’ilensoit,cequiestdit icidoitvouspermettredevouslancerdansunee´tudedesuiter´ecurrente.
Re´flexe ¬
I
Lesr´eflexes`aavoir
S’assurerquelasuiteestbiend´efinie.e.trˆe`aerndeep,aosngmerteunddunn’ey´p’inSpnaoqeiuue’dsail
Commentmontrerqu’unesuiter´ecurrente(un)ntsibne´dfiein?eeEn montrant queu0appartient `aunintervalleI⊂Dfinvariant parf,tnafiire´verid-`a-’estcf(I)⊂I. Trouver un tel intervalle invariant n’est pas une mince affaire. Nous y reviendrons un peu plus loin. Evi-demment,l’absenced’untelintervallenepermetpasdeconclurequelasuiten’estpasde´finie. Remarque :reuaintnreavllfeOnpr´ef´ermeorafeledird-a`-tse’c(e´mre[a, b]ou]− ∞, a]ou[a,+∞[ou encore ]− ∞,+∞[lefaroem-d`aedirc’t(t-esesnunemgmuo)xuei[a, b]o`u)D.anslecasI= [a, b],on peut d’ores et de´j`adirequelasuite(un)nestorbee´n
Re´flexe
S’assurer quefs`edpos.xenifitnuopiosnaemuDans le cas contraire, on peut conclure que la suite (un)n diverge. En effet :fneut´sveds(eleel´natenoctunitlee,imslesitiefinun)nsonterch`achlimraprestniopsedeesfix fbrcomesare--d`issntl’eex∈Dftna´vfiiref(x) =x. Remarque : 1.Sionad´eja`montr´equ’ilexisteunsegmentItnafiire´v •u0∈I; •I⊂Df; •f(I)⊂I, alorsfnsdaiomunusnniopexfitdeaeso`spI.Ceepttprrosedeme`´equenceduth´eor´itee´seutenocsn valeursinterm´ediaires. Elle est fausse siIest de la forme[a,+∞[ou]− ∞, a].Ainsi,[0,+∞[est invariant par la fonction exponentiellemaiscelle-cineposs`edeaucunpointfixe.
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