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16MASCSMLR1 BACCALAUREAT GENERAL SESSION 2016 MATHEMATIQUES Série S ÉPREUVE DU LUNDI 20 JUIN 2016 Enseignement SpécialitéCoefficient : 9 'XUpH GH O¶pSUHXYH: 4 heures Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,TX¶LO aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans O¶DSSUpFLDWLRQ GHV FRSLHV 1/7 Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats 16MASCSMLR1 Partie A Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40% des composants et la chaîne B produit le reste. Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le FRQVWUXFWHXU (Q VRUWLH GH FKDvQH $ GHV FRPSRVDQWV SUpVHQWHQW FH GpIDXW DORUV TX¶HQ VRUWLH GH FKDvQH % LOV QH sont que 5%. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note : A O¶pYpQHPHQW ©le composant provient de la chaîne A » B O¶pYpQHPHQW ©le composant provient de la chaîne B » S O¶pYpQHPHQW ©le composant est sans défaut » 1.
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16MASCSMLR1
BACCALAUREAT GENERAL
SESSION 2016
MATHEMATIQUES
Série S
ÉPREUVE DU LUNDI 20 JUIN 2016
Enseignement SpécialitéCoefficient : 9
Durée de l’épreuve: 4 heures
Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies
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Exercice 1
(6 points)
Commun à tous les candidats
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Partie A Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40% des composants et la chaîne B produit le reste. Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20% des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5%. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note : Al’événement «le composant provient de la chaîne A » Bl’événement «le composant provient de la chaîne B » Sl’événement «le composant est sans défaut » 1.Montrer que la probabilité de l’événementSestP(S)0,89. 2.Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On 2 donnera le résultat à10près. Partie B Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportionpde composants sans défaut. Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92. 1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportionpau niveau de confiance de 95 %. 2. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ? Partie C La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoireTqui suit la loi exponentielle de paramètre(oùest un nombre réel strictement positif). On notefla fonction densité associée à la variable aléatoireT. On rappelle que : λx -pour tout nombre réelx0,f(x)λea -pour tout nombre réela0,P(Ta)f(x) dx. 0
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1.La courbe représentativecde la fonctionfest donnée ci-dessous. y
2.3.
c
O a. Interpréter graphiquementP(Ta)oùa> 0. λt b. Montrer que pour tout nombre réelt0:P(Tt)1e. c.En déduire quelim P(Tt)1. t
3 On suppose queP(T7)0,5. Déterminerà10près.
x
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Dans cette question on prendλ0,099et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
a. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans. b. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans. c.mathématique Donner l'espérance E(T)de la variable aléatoireTà l'unité près. Interpréter ce résultat.
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Exercice 2 (4 points) Commun à tous les candidats ⃗ Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé)(⃗⃗on donne les points :
, , , , et .
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Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1 :Les trois points,, etsont alignés.
Affirmation 2 :Le vecteur⃗ est un vecteur normal au plan
Affirmation 3 :La droiteet le plansont sécants et leur point d’intersection est le milieudu segment[]. Affirmation 4 :Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
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16MASCSMLR1 Exercice 3 (5 points)Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialitéPour tout couple d’entiers relatifs non nuls(a,b), on notepgcd(a,b)le plus grand diviseur commun deaetb. Le plan est muni d'un repère(O ;i,j). 5 2 itla droite d'équationyx. 1.Exemple. So1 4 3 a.Montrer que si(x,y)est un couple d'entiers relatifs alors l'entier15x12yest divisible par 3. t de ladont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier. b.droiteExiste-il au moins un poin 1 Généralisation m p On considère désormais une droited’équation(E) :yxoùm,n,petqsont des entiers relatifs n q non nuls tels que . Ainsi, les coefficients del’équation (E) sont des fractions irréductibleset on dit que est une droite rationnelle. Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante surm,n,p etq pourqu’une droite rationnellecomporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs. 2.On suppose ici que la droitecomporte un point de coordonnées(x,y)oùxetysont des entiers relatifs. 0 000 a.En remarquant que le nombre �est un entier relatif, démontrer queqdivise le produitnp. b.En déduire queqdivisen. 3.Réciproquement, on suppose queq divisen, et on souhaite trouver un couple(x0,y0)d’entiers relatifs tels quem p yx. 0 0 n q a.On posenqr, oùrest un entier relatif non nul. Démontrerqu’on peut trouver deux entiers relatifsuetvtels queqrumv1. m p b.En déduire qu’il exist � . e un couple d’entiers relatifs tels quey0x0 n q 3 7 4.Soitla droite d’équationyx. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des 8 4 entiers relatifs ? Justifier. 5/7
16MASCSMLR1 5.On donne l’algorithmesuivant : Variables : : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd( pgcd( : entier naturel Entrées :les valeurs de Saisir Traitement et sorties : Sidivisealors prend la valeur 0 Tant que ቁቀ et ቁ ቀ faire prend la valeur Fin tant que Si alors Afficher, Sinon Afficher, Fin Si Sinon Afficher "Pas de solution" Fin Si a.Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de , entiers relatifs non nuls tels que pgcd( pgcd( . b.Que permet-ild’obtenir?
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16MASCSMLR1 Exercice 4 (5 points) Commun à tous les candidatsLors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segmentAB. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segmentEMperpendiculaire à la droiteABsauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la�figure. ̂ Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angleABle plus grand possible. Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segmentEMpour laquelle ̂ l’angle ABest maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note�ETla longueur , qu’on cherche à déterminer.Les dimensions du terrain sont les suivantes :EM50 m,EA25 metAB5,6 m. On notela mesure ̂ ̂ ̂ en radian de l’angleEA,la mesure en radian de l’angle EBetla mesure en radian de l’angleAB. 1.En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimertanettanen fonction de�. sinx La fonction tangente est définie sur l’intervalle0 ;partanx. 2cosx 2.la fonction tan est strictement croissanteMontrer que sur l’intervalle0 ;. 2 ̂ 3.L’angleABadmet une mesureappartenant à l’intervalle0 ;, résultat admis ici, que l’on peut observer 2 sur la figure. tanatanb On admet que, pour tous réelsaetbdel’intervalle0 ;,tan(ab). 21tanatanb 5, 6x Montrer quetan. 2 x765 ̂ 4.L’angle ABest maximum lorsque sa mesureest maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur 765 l’intervalle0 ; 50de la fonctionfdéfinie par :f(x)x. x ̂ Montrer qu’il existe uneunique valeur dexpour laquelle l’angle ABest maximum et déterminer cette valeur de ̂ �au mètre près ainsi qu’une mesure del’angleABà 0,01 radian près. Remarque: sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d’une telle précision.
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