Algèbre linéaire : rappels et compléments

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Algèbre linéaire : rappels et compléments
Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant
et pendant le TD, tenez bon et n’allez pas les consulter!
1 Quelques calculs effectifs
Exercice 1 Pivotons...
1. Résoudre le système suivant :
8
>x + 2y + 3z + 3t = 1<
3x + y + z t = 6
2x y + z + 2t = 1>:
x + y + z + t = 0
2. Soient ; 2R. Résoudre le système d’inconnues (x;y) :

x + (1 +)y = 4
2x y = 9 +
8
x y + z + t = 2><
2x + y 3z + 2t = 3
3. Résoudre le système
4x y z + 4t = 1>:
x 4y + 6z + t = 9
4. Pour quelles valeurs de 2C le système suivant possède-t-il une unique solution?
8
<x + y = 3
2x 3y = 1
:
x + y = 2
Exercice 2 Donner le rang des matrices suivantes :
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 3 0 0 1 1 1 a b
@ A @ A @ A @ A @ A @ A0 0 1 ; 2 1 2 ; 1 1 1 2 ; 1 2 3 4 1 ; 1 0 1 ; b 1 a :
1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 0 1 1 1 0 a b 1
Exercice 3 Déterminer l’inverse des matrices suivantes :
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 @ A @ A @ A @ A; 1 0 1 ; 2 0 1 ; 0 0 1 ; 1 1 0 :
1 1
1 1 0 3 1 0 1 0 0 1 0 1
Exercice 4 Pour chacune des matrices A , exhiber P et Q inversibles telles que P A Q = J . Oni i i i i i ri
mettra si possible en œuvre la méthode géométrique et la méthode par opérations élémentaires (pour
ceux qui connaissent!) :
0 1 0 1
1 0 1 1 1 2 3 0
1 2 1 2 @ A @ AA = A = A = 1 1 0 A = 1 2 3 4 11 2 3 4
3 4 2 4
1 0 1 3 2 1 0 1
0 1
2 1 3 3
B C3 2 1 1 4B CExercice 5 Soit A = . On note u l’endomorphisme de E =R représenté par A@ A4 1 2 1
1 2 3 7
dans la base canoniqueE de E.
16
1. Trouver une base du noyau de u; compléter pour avoir une base de E.
2. Trouver une base de l’image de u; pour avoir une base de E.
0 1
1 1 0 1
B C1 0 1 2B C
4 5B C3. Recommencer avec cette fois B = 1 2 1 0 représentant v2L(R ;R ).B C
@ A2 1 1 3
0 1 1 1
Exercice 6 «Trouver une équation d’un hyperplan» consiste à donner une forme linéaire dont il est
3le noyau. Par exemple dans R , H = Vect(e ;e ) (avec (e ;e ;e ) la base canonique) est le noyau de1 2 1 2 3
(x;y;z)7!x : «H a pour équation x = 0 dans la base canonique».
1. On suppose que (f ;:::;f ) est une famille libre dont on connaît les coordonnées dans une basse1 n 1
E. Expliquer comment obtenir une équation deH dansE en pivotant sur les colonnes d’une matrice
(n;n) bien choisie.
22. Trouver une équation de la droite deR engendrée par (1; 2).
33. Trouver une du plan deR engendré par (1; 2; 3) et (4; 5; 6).
Exercice 7 Évaluer la complexité des différents pivots pour les algorithmes mis en œuvre dans les
exercices précédents.
Il s’agit d’évaluer (à la louche) le nombre de sommes/produits effectués dans le cas de matrices (n;n)
n 2 4(on se fiche des constantes : est-ce plutôt du 2 , n , n , n!?)
2 Espaces vectoriels, applications linéaires
2.1 Sous-espaces; familles libres, génératrices
Exercice 8 Mines 2010
Soient E et E deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que E [E est un sous-espace de E si et1 2 1 2
seulement si E E ou E E .1 2 2 1
Exercice 9 X 2010 (PC)
i xkSoient ;:::; 2 [0; 2[ distincts deux à deux, et pourk2 [[1;n],f :x7! e . Montrer que (f ;:::;f )1 n k 1 n
est libre.
Exercice 10 Mines 2010 (PC)
1
Soient E =C(R;R) et, pour k2 [[1;n]], f :x7! La famille (f ;:::;f ) est-elle libre?k 1 n2 2x +k
2.2 Applications linéaires
Exercice 11 Mines 2010 (PC)
3 2 nSoient E un espace vectoriel et u2L(E) vérifiant 2u + 5u 3u = 0. Exprimer, pour n > 3, u en
2fonction de u et u .
Exercice 12 Mines 2010 (PC)
Soient f2L(E) et T :g7!fg gf. On suppose f nilpotent. Montrer que T l’est également.
Exercice 13 CCP 2008
Soient E unK-espace vectoriel de dimension infinie, et f;g2L(E) vérifiant fg = Id .E
1. Montrer que Ker (gf) = Ker (f).
2. Montrer que Im (gf) = Img.
3. Montrer que E = Im (g) Ker (f).
Exercice 14 Mines 2010
0Soient u2L(E) et P2K[X] tels que P (f) = 0, P (0) = 0 et P (0) = 0. Montrer : E = Kerf Imf.
2Exercice 15 Théorèmes de factorisation
Soient E, F et G troisK espaces vectoriels.
1. Soient u2L(E;F ) et v2L(E;G). Montrer qu’il existe w2L(F;G) tel que v = wu si et
seulement si Ker (u) Ker (v).
2. Soient u2L(E;G) et v 2L(F;G). Montrer qu’il existe w2L(F;E) tel que v = uw si et
seulement si Im (v) Im (u).
2.3 Dimension finie
Exercice 16 CCP 2010 (PC)
nSoient n> 2, et p un projecteur deR de rang r2 [[1;n 1]]. Calculer le rang du commutant de p.
Exercice 17 X 2010 (PC)
Soient E un espace de dimension finie et u2L(E). Montrer que Ker (u) = Im (u) si et seulement si
uu = 0 et dim(E) = 2rg(u).
Exercice 18 INT 2009 (PSI)
Soient E un R-espace vectoriel de dimension n, et f2L(E) tel que ff = Id . Montrer que n estE
pair.
Exercice 19 CCP 2007
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f2L(E).
21. Montrer que si Im (f) Ker (f) =E, alors Im (f) = Im (f ).
2 22. Montrer que si Im (f) = Im (f ), alors Ker (f) = Ker (f ).
Exercice 20 Mines 2010 (PC)
SoientE unespacevectorieldedimensionn,f etg dansL(E)telsquef +g = Id ,avec rg(f)+rg(g)6n.E
Montrer que Im (f) Im (g) =E, puis que f et g sont des projecteurs.
Exercice 21 Centrale 2010 (PSI)
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, f;g2L(E) tels que E = Im (f) + Im (g) = Ker (f) +
Ker (g).
1. Montrer que les sommes sont directes.
2. Donner un contre-exemple en dimension infinie.
3 Polynômes, fractions rationnelles
3.1 Racines, factorisations
Exercice 22 CCP 2007, 2008
2n nSoient n2 N et P = X 2 cos(n )X + 1. Factoriser P en éléments irréductibles dans C[X] puis
R[X].
Exercice 23 X 2010 (PC)
2Déterminer les P2C[X] tels que P (X ) =P (X)P (X + 1).
Exercice 24 Mines 2010
Déterminer les P2C[X] tels que (X + 4)P (X) =XP (X + 1).
Exercice 25 Centrale 2010
Déterminer les P2R[X] tels que (X + 3)P (X) =XP (X + 1).
Exercice 26 Mines 2010
nSoient n> 2 et a;b2R. Quel est le nombre de racines réelles de X +aX +b?
3Exercice 27 Mines 2010
Soient P simplement scindé surR et a2C. Que dire des racines complexes de P a?
2m+1 2m+1 Exercice 28 Factoriser (X +i) (X i) (m2N ) en produit d’irréductibles.
mY k
En déduire une expression de cotan
2m + 1
k=1
3.2 Qui n’a pas son polynôme?
Beaucoup de polynômes rencontrés ici sont des polynômes orthogonaux pour un certain produit
scalaire : il en sera question plus tard.
Exercice 29 Mines 2010 (polynômes de Hilbert)
On définit H = 1, H =X et plus généralement, pour n2N :0 1
X(X 1)::: (X n + 1)
H = n
n!
1. (question que j’ai ajoutée) Exprimer H (20) à l’aide d’un coefficient binomial. Même chose pour15
H ( 10).15
2. Montrer que pour tout n2N et tout p2Z, on a H (p)2Z.n
3. Soit P2R[X]. Montrer qu’il y a équivalence entre :
(a) Pour tout p2Z, P (p)2Z.
(b) Il existe ;:::; 2Z tels que P = H + H + + H .0 n 0 0 1 1 n n
Exercice 30 Polynômes de Tchebychev
1. Montrer que pour tout n2N, il existeT ;U 2R[X] tel que pour tout2R, cos(n ) =T (cos)n n n
et sin ((n + 1)) = sinU (cos).n
2. Donner les premiers T et U , ainsi que le terme dominant de T et U , pour tout n2N.n n n n
3. Factoriser T et U en produit d’irréductibles.n n
Exercice 31 Polynômes de Legendre
(n)2 nOn définit, pour n2N, L = (X 1) .n
1. Déterminer le terme dominant de L .n
2. Montrer que L possède n racines simples dans ] 1; 1[.n
(k)n nOn pourra s’intéresser aux racines de ((X 1) (X + 1) ) ...
Exercice 32 Polynômes d’Hermite
(n)
2 2n x =2 x =2Montrer que pour tout n2N, l’application H :x7! ( 1) e e est polynomiale.n
Discuter le degré, coefficient dominant et la parité de H .n
Exercice 33 Polynômes de Laguerre
x e (n)x nMontrer que pour tout n2N, l’application L :x7! e x est polynomiale.n
n!
Discuter le degré, coefficient dominant et la parité de L .n
Exercice 34 Polynômes de Bernoulli
Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes (B ) telle que B = 1 et pour tout n2 N,n n2N 0Z 1
0B = (n + 1)B et B = 0.n nn+1
0
1. Déterminer B et B .1 2
2. Donner le degré et le coefficient dominant de B .n
43. Prouver :
n n 1
B (1 X) = ( 1) B (X); B (X + 1) B (X) =nX ;n n n n
B (0) =B (1) et B (0) = 0:n n 2n+1
Exercice 35 Polynômes de Unnamed
n nMontrer que pour tout n2N, il existe F ;G 2R [X] tels que X F + (1 X) G = 1.n n n 1 n n
3.3 Divers
Exercice 36 CCP 2007, 2009
0Soient E =R [X] et f2L(E) définie par f(P ) =P P .n
1. Montrer que f est bijective de deux manières :
(a) avec une matrice;
(b) sans!
2. Soit Q2R[X]. Comment trouver P2R[X] tel que f(P ) =Q?
Exercice 37 CCP 2007
Soit ’ l’endomorphisme de E =R [X] défini par ’(P ) =P (X) P (X 1).n
1. Écrire la matrice de ’ dans la base canonique de E.
2. En déduire l’image et le noyau de ’.
Exercice 38 CCP 2009
Dans E =R