Ats 2000
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Filière ATS 2000 222 Premier problème CI l/2 Problème 1 Partie A 0 1 0 @ Soit la matrice A3 = 1 0 1 _ D&errniner son rang, puis calculer les valeurs propres et les 0 10 1 vecteurs propres associ es. On se propose de d&erminer les valeurs propres des matrices 4, = 0 -*. *. . -*. 0 carre-es de . . . . . . . . . 1 . . . 0 -*.- 0 1 0 i 1 dimensions n, telles que uiVj = 1 si i - j = 1 ou si i - j = - 1 et uiwj = 0 dans les autres cas. On sait que de telles matrices symétrique r&lles ont des valeurs propres toutes réelles. . Xl @ Soit Â. une valeur propre de A,, et soit X = i un vecteur propre (non nul) associe. % il Soit k le numéro de ligne tel que l.~~l= ~ux<~x~~-..,~~~) Montrer que kj IX~~ < Ixkwrl + IX~+~/ (Enposant par convention x0 = x”+~ = 0 si k = 1 ou k = n). En deduire que 1~1s 2 Nous allons chercher dans la suite ces valeurs propres 1, en posant & = ZCOS(CC,) Partie B @ On considere les suites (x~)~~,, à valeurs tielles qui v&ifient la relation de récunencë (R):yk22, x, =(2cosa)x,-, - xks2 avec 0 c a < 7r Montrer que les suites de puissances (I-‘)~~~ qui véritïent (R) sont telles que r est une des solutions de l’equation r2 -(2cosa)r + 1 = 0 Donner les solutions de cette equation sous forme d’exponentielles complexes. @ En déduire que les suites r6elle.s (sin(kcz)),rN v&ifient (R) et les conditions x0 = 0 et x1 f 0 [Rappel: sinp+sinq=2sinqcosy ] Page 1 223 Filière ATS 2000 Premier problème Cl 2/2 @ Pour n donne, montrer que le vecteur ...
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