Ats 2003
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Mathématiaues Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les exercices et le problème sont indépendants. La calculatrice personnelle est interdite. Exercice 1 Soit un espace vectoriel E de dimension 3, muni du repère B=( ël , ë2 , ë3). Soit f, un E de matrice dans la base B (a est un paramètre réel) : endomorphisme de (-2 6 3) A,= -2 5 2 !O OJ 1) Déterminer le polynôme caractéristique Pa de A, . Préciser les valeurs de a telles que Pa a une racine double. 2) On suppose ici que a vaut 3. Déterminer dans ce cas les valeurs propres et une base de E formée de vecteurs propres de f, 3) On suppose que a vaut 2. Montrer que dans ce cas A admet deux valeurs propres réelles dl et A, avec A, < A?. Calculer deux vecteurs propres, Cl (associé à A, ) et F2 (associé à h ). f, est-il diagonalisable? 4) Toujours pour a =2, calculer la matrice K de l’endomorphisme g= (f, - 21d)’ dans la base B. Montrer que ( C2 , ë3) est une base de Ker g . Calculer f(ëj) à l’aide de ( F2) et de ( ëj). 5) Montrer que (q,F2,ëj) est une base de E. Donner la matrice T de f, dans la base (q,F2,ë3). Exercice 2 dt On considère les fonctions F,(x) = pour k entier naturel non nul. On rappelle que 0 chk(t) et +e-‘ et -eTr ch(t) = - , sh(t) = - et que ch2 t - sh2(t) = 1 . 2 2 1) Justifier l’existence de 4(x) pour tout réel x. 2) Pour tout entier naturel non nul k, on note I, = lim 4(x). Justifier l’existence de I,. Calculer 1,. x+m [ Indication : on peut utiliser le changement de variable ...
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