Brevet de technicien supérieur session groupement A1

Brevetdetechniciensupérieur
session2010-groupementA1
Exercice1 10points
SpécialitésCIRA,Électrotechnique,Génieoptique,Systèmesélectroniques,TPIL
Dans cet exercice,on se propose d’étudier dans la partie A une perturbationd’un si-
gnalcontinuet,danslapartieB,lacorrectiondecetteperturbationparunfiltreana-
logique.
PartieA
Danscetexercice,onnoteτuneconstanteréelleappartenantàl’intervalle[0; 2π]et
onconsidèrelesfonctions f et g définiessurl’ensembleRdesnombresréels,telles
que:
• pourtoutnombreréelt, f(t)=1;
• lafonction g estpériodiquedepériode2πet:
½
g(t) = 0 si06t<τ
g(t) = 1 siτ6t<2π
Pourtoutnombreréelt,onpose:
h(t)= f(t)−g(t)
Lafonctionh ainsidéfiniereprésentelaperturbationdusignal.
1. Lescourbesreprésentativesdesfonctions f etg sonttracéessurledocument
oréponsen 1.(figures1et2).
oSur la figure3dudocumentréponsen 1,tracer lareprésentation graphique
delafonctionh.
2. Onadmetquelafonctionh estpériodiquedepériode2π.
Pour tout nombreréel t,ondéfinitla série deFourier S(t)associée àla fonc-
tionh par
+∞X
S(t)=a + (a cos(nt)+b sin(nt))0 n n
n=1
a. Déterminer a .0
b. Soitn unnombreentiersupérieurouégalà1.
Calculer
Zτ
cos(nt)dt
0
etendéduireque
1
a = sin(nτ).n
nπ
c. Montrerquepourtoutnombreentiern supérieurouégalà1,
1
b = (1−cos(nτ)).n
nπ
3. Soitn unnombreentiernaturel.Onassocieàn lenombreréel A telque:n
• A =a0 0A.P.M.E.P. Brevetdetechniciensupérieur
s
2 2a +bn n• A = sin estunnombreentiersupérieurouégalà1.n
2
Montrerque,pourtoutentiern supérieurouégalà1,ona:
p1
A = 1−cos(nτ).n
nπ
π
Onsuppose,pourtoutelasuitedel’exercice,queτ= .
4
o4. Compléter le tableau 1 du document réponsen 2 avec des valeurs appro-
−5chéesà10 près.
5. Lavaleurefficaceh delafonctionh esttelleque:eff
Z2π12 2h = [h(t)] dt.eff 2π 0
2a. Calculerh .
eff
−4b. Calculer une valeur approchée à 10 près du nombre réel P défini par
3X
2P= A .n
n=0
P−2c. Calculerunevaleurapprochéeà10 prèsduquotient .
2h
eff
PartieB
π
Onrappellequejestlenombrecomplexedemodule1etdontunargumentest .
2
Onconsidèrela fonction de transfert H définie,pour tout nombrecomplexe p dif-
3
férentde− par:
2
3
H(p)= .
2p+3
Ondéfinitlafonctionr,pourtoutnombreréelpositifω,par:
r(ω)=|H(jω)|.
Le but de cette partie est de déterminer le spectre d’amplitude du signal, noté k,
obtenuenfiltrantlaperturbationhaumoyend’unfiltredontlafonctiondetransfert
estH.
3
1. Montrerquer(ω)= .p
29+4ω
2. Pourtoutnombreentiernatureln,ondéfinitlenombreréelpositifB par:n
B =r(n)×A ,n n
où A estlenombreréelpositifdéfinidanslaquestion3delapartieA.n
oCompléter le tableau 2 du document réponse n 2, avec des valeurs appro-
−5chéesà10 près.
Lespectred’amplitudedusignalfiltrék estdonnéparlasuitedesnombresréels
B .n
o3. La figure 4 sur le document réponse n 2 donne le spectre d’amplitude de
la perturbation h, c’est-à-dire une représentation graphique de la suite des
nombresréels A .n
oSur lafigure5dudocumentréponsen 2,onacommencé demêmeàrepré-
senterlasuitedesnombresréelsB .n
oCompléter cette représentation graphique à l’aide du tableau de valeurs n 2
odudocumentréponsen 2.
GroupeA1 2 12mai2010A.P.M.E.P. Brevetdetechniciensupérieur
−44. Unevaleurapprochéeà10 prèsducarrédelavaleurefficacedusignalk est
2k ≈0,0516.eff
−4a. CaLculer unevaleurapprochéeà10 prèsdunombreréelQ définipar
3X
2Q= B .n
n=0
Q−1b. Calculerunevaleurapprochéeà10 prèsduquotient .
2k
eff
OnaétudiélespectredeFourierd’uneperturbatîond’unsignal.Onnepeutpasnégli-
gerlesraiesdehautesfréquencesdecespectre.Lefiltragedissipeunepartimportante
del’énergiedelaperturbationetlesraiesdehautesfréquencesdelaperturbationfil-
tréesontnégligeables.
Exercice2 10points
On considère un système physique dont l’état est modélisé par la fonction y de la
variableréellet,solutiondel’équationdifférentielle:
′′y (t)+4y(t)=e(t) (1),
oùlafonctione représenteunecontrainteextérieureausystème.
PartieA
Danscettepartie,onsupposequee(t)=20pourtoutnombreréelt.L’équationdif-
férentielle(1)s’écritalorssouslaforme:
′′y (t)+4y(t)=20 (2).
1. Déterminer la fonction constante h solution particulière de l’équation diffé-
rentielle(2).
2. Déterminerlasolutiongénéraledel’équationdifférentielle(2).
3. En déduire l’expression de la fonction f solution de l’équation différentielle
′(2)quivérifielesconditions f(0)=0et f (0)=0.
PartieB
Dqnscettepartie,onétudieunmoyend’amenerlesystèmeversunétatd’équilibre
demanière«lisse».
Àcettefinonsoumet lesystème àunecontrainteextérieuremodélisée parla fonc-
tione définiepar:
e(t)=8tU(t)−8(t−τ)U(t−1).
oùτdésigneunnombreréelstrictementpositif.
OnrappellequelafonctionéchelonunitéU estdéfiniepar:
½
U(t) = 0 sit<0
.
U(t) = 1 sit>0
UnefonctiondéfiniesurRestditecausalesielleestnullesurl’intervalle]−∞; 0[.
Onappelle g lafonctioncausaletelleque:
′′g (t)+4g(t)=e(t)
etvérifiant:
′g(0)=0etg (0)=0.
On noteG(p) la transformée de Laplace de la fonction g et E(p)la transformée de
Laplacedelafonctione.
GroupeA1 3 12mai2010A.P.M.E.P. Brevetdetechniciensupérieur
1. ExprimerE(p)enfonctiondep etdeτ.
2. Endéduireque:
¡ ¢8 −τpG(p)= ¡ ¢ 1−e .
2 2p p +4
3. Déterminerlesconstantesréelles A etB tellesque:
8 A B
¡ ¢= + .
2 2 2 2p p +4p p +4
8
¡ ¢4. Détermineralorsl’originalde .
2 2p p +4
5. Endéduireque,pourtoutnombret :
g(t)=g (t)−g (t−τ) avec g (t)=(2t−sin(2t))U(t).0 0 0
6. Montrerquepour t>τ,ona
g(t)=2τ−sin(2t)+sin(2t−2τ).
7. Onsupposemaintenantqueτ=π.
a. Simplifierl’expressiondeg(t)pour t>τ.
b. La courbe représentative de la fonction e, pour τ=π, est tracée sur la
ofiguredudocumentréponsen 3.
Surlemêmegraphique,tracerlacoutbereprésentativedelafonotion g.
GroupeA1 4 12mai2010A.P.M.E.P. Brevetdetechniciensupérieur
oDocumentréponsen 1,àrendreaveclacopie(exercice1)
Figure1:courbereprésentativede f
1
−π π−3π −2π 0 2π 3π
Figure2:courbereprésentativedeg
1
• • •
• • •
−π π−3π −2π 0 2π 3π
Figure3:courbereprésentativedeh
1
−π π−3π −2π 0 2π 3π
GroupeA1 5 12mai2010A.P.M.E.P. Brevetdetechniciensupérieur
oDocumentréponsen 2,àrendreaveclacopie(exercice1)
Tableau1
n 0 1 2 3 4 5 6 7
A 0,12500 0,17227 0,13863 0,08318 0,05305 0,02461n
n 8 9 10 11 12 13 14 15
A 0,01914 0,03183 0,03781 0,03199 0,02274 0,01148n
Tableau2
n 0 1 2 3 4 5 6 7
B 0,14334 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516n
n 8 9 10 11 12 13 14 15
B 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00387 0,00242 0,00114n
Figure4
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Figure5
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
GroupeA1 6 12mai2010A.P.M.E.P. Brevetdetechniciensupérieur
oDocumentréponsen 3,àrendreaveclacopie(exercice2)
10π
9π
8π
7π
6π
5π
4π
3π
2π
π
πO 2π 3π
−π
−2π
GroupeA1 7 12mai2010