CAPES externe 10mars
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Niveau: Supérieur, Bac+5
[ CAPES externe 10mars 2009\ Seconde épreuve 9 h à 14 h
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[ CAPES externe 10mars 2009\ Seconde épreuve 9 h à 14 h
- réelle positive
- racine
- polynôme
- n?1 ∑
- point de ?
- borne de cauchy
- enveloppe convexe des points du plan
- convexe contenant
- unique solution réelle
[CAPES externe 10 mars 2009\
Seconde épreuve
9 h à 14 h
CAPES externe
Notations et présentation du sujet
A. P. M. E. P.
Dans tout le problèmendésigne un entier naturel non nul. Siaetbsont deux entiers naturels tels quea<bon notea,bl’ensemble des entiers naturelsktels que a6k6b. SiK=RouC, pour un polynômeP(X)∈K[X] on noteraPla fonction polynôme ′ associée àP(X). On noteP(X) le polynôme dérivé deP(X). Enfin, le planPest rapporté à un repère orthonormal direct d’origine O.
Ce sujet traite de quelques aspects géométriques liés aux ra cines de polynômes. Il se compose de quatre parties. Les parties A et B sont destinées à donner des majora tions des modules des racines d’un polynôme en fonction de ses coefficients. Dans les parties suivantes, on s’intéresse à localiser les racines du polynôme dérivé par rapport aux racines du polynôme. Dans la partie C on établit à ce sujet un théorème de Lucas et dans la partie D on démontre un raffinement de ce thé orème pour des polynômes de degré 3.
Partie A : une majoration des modules des racines d’un polynôme
n n−1 SoitP(X)=X+an−1X+ ∙ ∙ ∙ +a1X+a0∈C[X] un polynôme unitaire de degrén. On se propose de montrer que les racines deP(X) appartiennent au disque fermé de centre O et de rayonRoù
R=max{|a0|, 1+ |a1|, 1+ |a2|,∙ ∙ ∙, 1+ |an−1|}
I. Exemple numérique On considère les nombres complexesa0=6−2i,a1= −3−5i,a3= −2+3i, et on définit le polynômep(X)∈C[X] par :
3 2 p(X)=X+a2X+a1X+a0.
1.Montrer quep(X) possède une racine réelle. 2 2.Résoudre dansCl’équation :z+3iz−3+i=0. 3.Vérifier que les racines dep(X) appartiennent au disque fermé de centre O et de rayonRoùR=max{|a0|, 1+ |a1|, 1+a2|}. II. Étude du cas général ¡ ¢ SoitA=ai june matrice carrée d’ordrenà coefficients dansC. On pose, pour tout entieri∈ 1,n:
n X ¯ ¯ ri=ai jetDi={z∈C,|z|6ri} j=1 1.Soitλ∈Cune valeur propre deAet soitVun vecteur propre deAassocié à la v1 v2 valeur propreλ. On poseV=oùvi∈Cpour touti∈ 1,n . vn
a.Montrer que pour tout entieri∈ 1,n, on a :
|λvi|6rimax (|vk|) k∈1,n
n [ b.En déduire que :λ∈Di. i=1
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A. P. M. E. P.
n n−1 2.Au polynômeP(X)=X+an−1X+∙ ∙ ∙ +a1X+a0∈C[X], est associée la ma trice carrée d’ordrennotéeMP, appelée matrice compagnon deP, et définie par : 0 0 0 . . . 0 0−a0 1 0 0 . . . 0 0−a1 0 1 0 . . . 0 0−a2 MP= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 1 0. . . −an−2 0 0 0 . . . 0 1−an−1 ¡ ¢ c’est–à–dire la matriceMP=mi javec : 1 sii−j=1 mi j= mi n= −ai−1 mi j=0 sinon
a.Montrer que pour tout nombre complexezon a : n det (MP−z In)=(−1)P(z)
oùInest la matrice identité d’ordren. b.En déduire que les racines deP(X) appartiennent au disque fermé de centre O et de rayonRoù
R=max {|a0|, 1+ |a1|, 1+ |a2|, 1+ |an−1|}
PARTIE B : La borne de Cauchy
Dans cette partie on se propose de donner un autre encadremen t des modules des racines d’un polynôme en fonction de ses coefficients. I. Un résultat préliminaire Soient des réels e polynômeH(X) (ci)i∈0,n−1positifs non tous nuls. On considère l défini par : n−1 X n k H(X)=X−c X k k=0 et on définit sur ]0 ;+∞[ la fonctionhpar : H(x) h(x)= − n x 1.Montrer que la fonctionhest strictement décroissante sur ]0 ;+∞[. 2.En déduire que le polynômeH(X) admet une unique racine réelle strictement positive qu’on noteαet montrer que cette racine est une racine simple. 3.Soitζune racine complexe deH(X). On suppose que|ζ| >α, montrer alors que :
n−1 X n k |ζ| >ck|ζ| k=0 4.En déduire que toutes les racines deH(X) appartiennent au disque fermé de centre O et de rayonα. II. Une application m−1 X k On considère un entierm>2 et un polynômeF(X)=akXde degrém−1 tel k=0 queaisoit un réel strictement positif pour touti∈ 0,m−1. ½ ¾ ai−1 On poseγ=on considère une racine complexemax et ζdu polynôme i∈1,m−1a i F(X).
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10 mars 2009
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1.En considérant le polynômeFγ(X)=(X−γ)F(X), montrer que
|ζ|6γ ½ ¾ ai−1 ′ 2.On poseγ=min . Montrer que : i∈1,m−1a i ′ γ6|ζ|
A. P. M. E. P.
III. La borne de Cauchy n X k éntel que les (a) soient Soitf(X)=akX∈C[X] un polynôme de degri i∈0,n−1 k=0 non tous nuls. 1.Montrer que l’équation d’inconnuex
n−1 X k n |ak|x= |an|x k=0
possède une unique solution réelle strictement positive. Cette racine est appelée borne de Cauchy def(X) et sera notée dans la suite ρ(f). 2.Montrer que pour toute racine complexeζdef(X) on a :
|ζ|6ρ(f)
3.Soit (ζ) lesnracines complexes (distinctes ou non) def(X) avec i i∈1,n
06|ζ1|6|ζ1|6∙ ∙ ∙6|ζn|6ρ(f)
a.Montrer que pour tout entierk∈ 0,non a : Ã ! a n k n−k 6|ζn| ¯ ¯ ank
¡ ¢ ¡ ¢n! n n où désigne le coefficient binômial :=. k k k!(n−k)! b.En déduire que : Ã ! n−1 X n n k n−k ρ(f)6ρ(f)|ζn| k k=0 c.En déduire que : ³ ´ n 2−1ρ(f)6|ζn|
n X n−k d.On suppose que 0 n’est pas racine def(X) et on poseg(X)=a X. k k=0 On noteρ(g) la borne de Cauchy deg(X). Montrer que :
1 1 6|ζ1|6¡ ¢ n ρ(g) 2−1ρ(g)
4.En reprenant le polynômep(X) de la question 1. de la partie A, déterminer à la calculatrice une valeur approchée de la borne de Cauchy dep(X) et vérifier pour ce polynôme les résultats obtenus aux questions 2., et 3. c. IV. Un raffinement de la borne de Cauchy n X k On considère toujoursf(X)=akX∈C[X] un polynôme de degréntel que les k=0 (anon tous nuls.) soient i i∈0,n−1
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A. P. M. E. P.
On pose n−2 X n k f1(X)=anX+akX k=0 On se propose de montrer que les racines def(X) appartiennent àD0∪D1oùD0et D1sont les disques définis par : ½ ¾ an−1 D0={z∈C,|z|6ρ(f1)} etD1=z∈C,z+6ρ(f1) ¯ ¯ an et oùρ(f1) désigne la borne de Cauchy def1(X). ¡ ¢ 1.Montrer queρf16ρ(f). 2.Soitζune racine defn’appartenant pas àD0. Montrer que :
3.Conclure.
n−2 X ¢ ¡ ¢ 1¡k an−1+anζ|6¡ ¢k1n1 | |a|ρf= |a|ρf n−1 ρf1k=0
PARTIE C : un théorème de Lucas
On dit qu’une partieΓdu planPest convexe si pour tout couple (A,B) de points deΓ, le segment [AB] est contenu dansΓ: c’est à dire, en notantaetbles affixes respectives des pointsAetB, si pour toutλ∈[0 ; 1], le pointMλd’affixeλa+(1−λ)b appartient àΓ. (En particulier, l’ensemble vide est convexe).
I. Préliminaires 1.SoitPune partie dePetEl’ensemble des parties dePqui sont convexes et qui contiennentP. On pose \ E(P)=Γ Γ∈E Montrer queE(P) est la plus petite (au sens de l’inclusion) partie convexe contenantP. Cette partieE(P) est appeléel’enveloppe convexedeP. 2.SoitPune partie non vide dePet notonsBl’ensemble des barycentres de familles finies de points dePaffectés de coefficients positifs. Montrer que E(P)=B. n X k′ II.Soitf(X)=akX∈C[X] un polynôme de degrénet soitf(X) son polynôme k=0 dérivé. Soit {r1,r2. . ,, . rm} l’ensemble des racines def(X) et soitαjl’ordre de multiplicité de la racinerjpour toutj∈ 1,m. 1.Montrer que pour tout nombre complexezn’appartenant pas à {r1,r2, . . . ,rm}, on a : ′m X f(z)αj = f(z)z−rj j=1
′ 2.Soitr∈Cune racine def(X) n’appartenant pas à {r1,r2. . ,, . rm}. Montrer que : m X αj¡ ¢ r−rj=0 2 ¯ ¯ j=1r−r j et déduire que le point d’affixerest barycentre des pointsM1,M2. . ,, . Mm d’affixes respectivesr1,r2, . . . ,rm. 3.Montrer alors que l’ensemble des points dont les affixes sont les racines de ′ f(X) est inclus dans l’enveloppe convexe des points du plan dont les affixes sont les racines def(X). (Théorème de Lucas)
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10 mars 2009
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A. P. M. E. P.
4.Illustrer ce résultat pour le polynômep(X) défini dans la question 1. de la partie A.
PARTIE D : théorème de Lucas et polynômes de degré 3
On se propose dans cette partie de démontrer un raffinement du théorème de Lu cas pour des polynômes de degré 3. Plus précisément, on se pro pose de montrer le résultat suivant :
Soit f(X)∈C[X]un polynôme unitaire de degré 3. On note M1,M2et M3les points du plan dont les affixes sont les racines de f(X)et on suppose que M1,M2et M3ne sont ′ pas alignés. Alors les racines du polynôme dérivé f(X)sont les affixes : –des foyers de l’ellipse tangente aux trois côtés du triangle M1M2M3en leurs mi lieux si M1M2M3n’est pas équilatéral –du centre du cercle inscrit dans le triangle M1M2M3s’il est équilatéral I. Étude du cas oùM1M2M3est un triangle équilatéral Soitf(X)=(X−r1)(X−r2)(X−r3)∈C[x] oùr1,r2etr3sont trois nombres complexes distincts. On suppose que les pointsM1,M2etM3d’affixes respectivesr1,r2etr3ne sont pas alignés. ′ 1.Montrer quef(X) possède une racine doubleωsi et seulement si le triangle M1M2M3est équilatéral et son centre de gravité a pour affixeω. 2.Conclure.
II. Une propriété de la tangente à l’ellipse ′ Soitaun réel strictement positif et soientFetFdeux points distincts du plan tels ′ ′ queF F<2a. On appelle ellipse de foyersFetFet de demi–axe focalal’ensemble (E) des pointsMdu plan tels que :
′ M F+M F=2a
1 Soitt7−→M(t) une paramétrisation de classeCde l’ellipse. Pour tout pointM(t)∈ ³ ´ −→d−−−−→ (E), on noter(t)=M(t)Fun vecteur directeur de la tangente à (E) enM(t) et dt on pose −−−−−→ −−→1−−−−→−−→1 ′ u(t)=M(t)Fetv(t)=M(t)F ′ M(t)F M(t)F 1.Montrer que : ³ ´ ³ ´ −−−−−→ d−−−−→d ′ M(t)F=M(t)F dtdt ³ ´ −→−→ 2.Montrer que le produit scalaireu(t)+v(t)∙r(t) est nul. 3.En déduire que la tangente à (E) enM(t) est une bissectrice du couple de ¡ ¢ ′ droites ((M(t)F) ,M(t)F) .
III. Un théorème de Poncelet
SoitPun point strictement « extérieur » à l’ellipse (E) (c’est–à–dire un pointPtel ′ queP F+P F>2a) : on admet qu’il existe toujours deux tangentes issues dePà (E) et on noteT1etT2les points de tangences. ′ 1.SoitF1l’image deFpar la réflexion d’axe (P T1). Montrer queF F1=2a. 2.On note de mêmeF2l’image deFpar la réflexion d’axe (P T2). Montrer que ¡ ¢ ′ P Fest la médiatrice de [H F2]. ¡ ¢ ′ 3.On se propose de montrer que les angles de droites ((P T1) , (P F()) et P F, (P T2)) sont égaux. Pour toute droiteDdu plan, on noteSDla réflexion d’axeD.
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10 mars 2009
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A. P. M. E. P.
a.Dét erminerS(P F)◦S(P T1)(F1) et en déduire la nature et les éléments ca ractér oséeS istiques de la comp(P F)◦S(P T1). b.ristiquesDéterminer de la même façon la nature et les éléments caracté d et conclu ′ e la composéeS(P T2re. )◦S(P F)
IV. Étude du cas oùM1M2M3n’est pas équilatéral Soitf(X)=(X−r1)(X−r2)(X−r3)∈C[x] oùr1,r2etr3sont trois nombres complexes distincts. On suppose que les pointsM1,M2etM3d’affixes respectivesr1,r2etr3ne sont pas alignés et que le triangleM1M2M3n’est pas équilatéral. ′ ′ ′ ′ On notewetw(avecw6=w) les racines du polynôme dérivéf(X) etFetFles ′ points d’affixes respectiveswetw. ′ 1.Justifier qu’il existe une ellipse (E) de foyersFetFet passant par le milieu de [M1M2]. 2. a.Montrer que dansC[X] on a l’égalité : ¡ ¢ ′ 3(X−w)X−w=(X−r1) (X−r2)+(X−r2) (X−r3)+(X−r3) (X−r1) .
3.
b.En déduire que :
r1+r2 w− r2−r1 2 12= r1+r2 r1−r2′ w− 2 puis que la droite (M1M2) est tangente à (E). a.Montrer que :
′ r2−r1w−r1 =3 . w−r1r3−r1 b.En déduire que (M1M3) est la deuxième tangente à (E) issue deM1. 4.Conclure.
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FIN
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