Concours Fesic mai
6
pages
Français
Documents
2008
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
6
pages
Français
Documents
2008
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Niveau: Supérieur
[ Concours Fesic mai 2008 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de ré- ponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . On considère trois points A, B et C d'affixes respectives zA = 1+ i p 3, zB = 1+ i, et zC = 2i ( cos π12 + isin π 12 ) . a. On a arg(zC)= π12 . b. L'écriture algébrique de zA zB est : p3+1 2 + i p3?1 2 . c. L'écriture trigonométrique de zA zB est : p2 ( cos π12 + isin π 12 ) . d. On a : OAOB = OC p2 . EXERCICE 2 On considère deux réels a et b et l'équation [E] : z4+az3+bz2+az+1= 0 dans C. a. Si z0 est solution de [E] alors z0 et 1z0 le sont aussi. b. Si 1+2i est solution de [E] alors 11?2i aussi.
Voir
[ Concours Fesic mai 2008 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de ré- ponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . On considère trois points A, B et C d'affixes respectives zA = 1+ i p 3, zB = 1+ i, et zC = 2i ( cos π12 + isin π 12 ) . a. On a arg(zC)= π12 . b. L'écriture algébrique de zA zB est : p3+1 2 + i p3?1 2 . c. L'écriture trigonométrique de zA zB est : p2 ( cos π12 + isin π 12 ) . d. On a : OAOB = OC p2 . EXERCICE 2 On considère deux réels a et b et l'équation [E] : z4+az3+bz2+az+1= 0 dans C. a. Si z0 est solution de [E] alors z0 et 1z0 le sont aussi. b. Si 1+2i est solution de [E] alors 11?2i aussi.
- repère orthonormal
- c1 au point d'abscisse
- point dec d'abscisse
- écriture algébrique de za zb
[Concours Fesic mai 2008\
Calculatrice interdite; traiter12exercices sur les16en2h30; répondre par Vrai ou Faux sans justification.+1si bonne réponse,−1si mauvaise réponse,0si pas de ré ponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.
EX E R C IC E1 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonorméO,u,v. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives ³ ´ p π π zA=1+i 3,zB=1+i, etzC=2i cos+i sin. 12 12 π a.(On a argzC)=. 12 p zA3+1 3−1 b.L’écriture algébrique deest :+i . zB2 2 ³ ´ zAπ π c.2 cosest :L’écriture trigonométrique de+i sin. zB12 12 OA OC d.On a := p. OB 2
EX E R C IC E2 4 3 2 On considère deux réelsaetbet l’équation [E] :z+a z+b z+a z+1=0 dansC. 1 a.Siz0est solution de [E] alorsz0et lesont aussi. z0 1 b.Si 1+2i est solution de [E] alorsaussi. 1−2i 1 ′2 c.Le changement de variableZ=z+conduit à résoudre [E ] :Z+a Z+b=0. z 4 3 2 d.On peut factoriser l’expressionz+a z+b z+a z+1 par deux polynômes de degré deux à coefficients réels.
EX E R C IC E3 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonorméO,u,v. On appelle A le point d’affixe 2, B le point daffixe−3−i et C le point d’intersection de (OB) avec la médiatrice de [OA]. On considère dansCles équations suivantes [E1] et [E2] : [E1] :|z| = |z−2|et [E2] : arg(z)=arg(z+3+i). a.L’ensemble des pointsMdu plan dont l’affixezvérifie [E1] est la médiatrice de [OA]. b.L’ensemble des pointsMdu plan dont l’affixezvérifie [E2] est le segment [OB], exclusions faites de O et B. c.L’affixe du point C vérifie simultanément [E1] et [E2]. µ ¶ 1 d.1 ;Le point C a pour coordonnées 3
EX E R C IC E4 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. Soienta∈R, (C) la courbe représentant la fonction exponentielle et (T) la tangente à (C) au point d’abscissea. x x Soientfla fonction définie surRpar :f(x)=e−e (x+1−a) et (Γ) sa courbe repré sentative dans le même repère. a a.Une équation de (T) est :y=e (x+1−a). ′ b.La dérivéefdefest croissante surR.
Concours Fesic 14 mai 2005
a c.(C) est audessous de (T) avant le point A(a; e) est audessus de (T) après A. d.À tout réelx0on associe les pointsM0de (C) etN0de (Γ) d’abscisse commune x0.x0étant fixé, il existe une valeur deatelle que (C) et (Γ) possèdent des tangentes parallèles respectivement enM0etN0.
EX E R C IC E5 Dans le repère orthonormal cidessous sont représentées les courbes des fonctions logarithme népérien, exponentielle et identité (x→7−x).
y
3
2
1 K
C
C2
B
C1
x −4−3−2−2 31 1 I J −1
A −2
−3
Δ
−4 aetbsont deux réels strictement positifs etAetBsont deux points deC1d’abs cisses respectivesaetb. On appelleIle milieu de [AB]. On notera ceci :J∈Δ,K∈C2, les droites (I J) et (K C) sont parallèles à l’axe des abs cisses ; la droite (J K) est parallèle à l’axe des ordonnées. µ ¶ ³ ´ a+b a.Le pointIa les coordonnées; lnab. 2 ab b.L’abscisse deCest e. a+b c.La tangente àC1est parallèle à la droiteau point d’abscisseΔsi et seule 2 ment sia+b=2. d.Le symétrique deApar rapport àΔa pour coordonnées (lna;a).
EX E R C IC E6
x2x a.Afin de résoudre l’inéquation e−e<0, on utilise le raisonnement suivant : 2 x « Sixest une solution, alorsx∈Ret on a e− <0. Le changement de va x e
Terminale S
2
Concours Fesic 14 mai 2005
2 2X−2 x x riableX=e donneX− <0, soit<0. Or on aX=e>0. Il faut donc X X ¡p¢¢ ¡p 2 X−2<0, soit aussiX−2X+2<0. On en déduit−2<X<2, donc x −2<e<2. ln étant une fonction croissante, on obtientx<ln 2.Ces conditions néces saires sont suffisantes. Solution :x<ln 2. Ce raisonnement est exact. b.On considère la suite définie par : 1 y u0=et pour toutn∈NparΔ C 2 1 1 2 un+1=u+. n 8 On désigne parCla courbe re présentant la fonctionfdéfi 2 nie surR+par :f(x)=x+ 1 et on désigne parΔla 8 droite d’équationy=x. Afin de construire les quatre premiers termes de la suiteu, on a réa 0 lisé la construction cicontre.u uu u x 0 12 3 0 1 Cette construction est exacte. c.On considère la suiteuet la fonctionfprésentées à l’itemb. Afin de montrer queuest croissante, on utilise le raisonnement par récur rence suivant : « Soit P(n) l’inéquation :un+1>un>0. Initialisation : on au1>u0>0, donc P(0) est vraie. Hérédité :Soitp∈Ntel que P(p) soit vraie. Alorsup+1>up>0. Commef ¡ ¢ est croissante surR+et ne prend que des valeurs positives, alorsf up+1> ¡ ¢ f up>f(0), soitup+2>up+1>0. Donc P(p+1) est vraie. Conclusion :De ces deux assertions et d’après le théorème de raisonnement par récurrence, je déduis que quel que soitn∈N,P(n) est vraie. On obtient, pour toutn∈N,un+1>un, ce qui prouve queuest croissante. Ce raisonnement est exact. d.On considère la fonctionfdéfinie sur ]− ∞;−3]∪[1 ;+ ∞:[ parf(x)= 2 x+2x−3. On cherche à savoir si la courbeCreprésentantfpossède une tangente au point A( 1; 0 ). On utilise pour cela le raisonnement suivant: «Une équation ′ de la tangente àCen A est donnée pary=(x−1)f(1)+f(1). x+1 ′ ′ Or on af(x)= p, doncf(1) n’existe pas et doncfn’est pas déri 2 x+2x−3 vable en 1. On en déduit queCne possède pas de tangente en A. » Ce raisonnement est exact.
EX E R C IC E7 p −x x Soitf:la fonction définie parf(x)=e e−1. On appelleDl’ensemble de défi nition def. a.fest dérivable surD=[0 ;+ ∞[. b.limf(x)= +∞. x→+∞ · ¸ 1 c.Quel que soitx∈D,f(x)∈0 ;. 2 1 d.L’équationf(x)=admet une unique solution surD. 2
EX E R C IC E8 µ ¶ 1 1 Soitf:la fonction définie parf(x)= +ln 1+. On appelleDl’ensemble de x x
Terminale S
3
Concours Fesic 14 mai 2005
définition defetCsa courbe représentative dans un repère du plan. a.D=]− ∞;−1[ ; b.fadmet des primitives sur ]− ∞;−l’une d’elles est la fonction1[ ;Fdéfinie sur ]− ∞;−1[ par
F(x)=(1+x) ln(1+x)+(1−x) lnx.
c.limx f(x)=1. x→−∞ n X 2 d.Soitn∈N∗. On a :f(k)= +ln(n+1). n(n+1) k=1
EX E R C IC E9 Soitfune fonction continue et positive sur [0 ;+ ∞[. SoientFetGles fonctions définies sur [0 ;+ ∞[ respectivement par : Z Z x x F(x)=f(t) dtetG(x)=x f(t) dt. 1 1
On désigne parΓla représentation graphique defdans un repère du plan. a.G(0)=G(1). ′ b.Gest dérivable sur [0 ;+∞[ et pour toutx∈[0 ;+∞[, on aG(x)=F(x)+x f(x). c.On ne peut pas prévoir le sens de variation deGsur [0 ;+ ∞[ avec les seules hypothèses de l’énoncé. d. L’airede la surface limitée par les droites d’équationsx=0,x=2,y=0 et la courbeΓse calcule parF(2)+F(0).
EX E R C IC E10 ′ a.La solution de l’équation différentielle 2y+y=0 qui prend la valeur 5 en 1 est 1−x 2 la fonctionfdéfinie surRparf(x)=5e . b.L’ensemble des solutions de l’équation ln(4−x)61 est [4−e ;+ ∞[. c.Soienta∈R+∗etCla courbe représentant la fonction ln dans un repère or thonormal du plan d’origine O. Soient A le point deCd’abscissea, B le projeté orthogonal de A sur l’axe des abscisses et C le point d’intersection de la tan gente àCen A avec l’axe des abscisses. C est le milieu de [OB] si et seulement sia=e. d. Soita∈Rnés.. Soient trois points A, B et C deux à deux distincts et non alig © ª a Soit G le barycentre de(A, e) ;(B,) ;(C ; 2). ³ ´ −→−→ Dans le repèreA ;AB , ACle point G a les coordonnées (x,y) telles que a 1 2e x=ety=. a2a2 (e+1) (e+1)
EX E R C IC E11 Soitfla fonction définie surR+par : 4 f(x)=3−. x+2 On considère la suiteudéfinie pourn∈Npar : ½ u0=4 un+1=f(un) On admettra que la suiteuest bien définie. a.fest croissante surR+. b.uest croissante. c.Quel que soitn∈N,un>2.
Terminale S
4
d.uest convergente.
Concours Fesic 14 mai 2005
EX E R C IC E12 Soitfla fonction définie surR+par : 4 f(x)=3−. x+2 On considère la suiteudéfinie pourn∈Npar : u0=4 un+1 un+1=f(un) etvn=. un−2 On admettra que les suitesuetvsont bien définies. a.vest géométrique de raison 4. 15 10 X 4−1 b.vk=v5×. 3 k=5 2vn+1 c.Pour toutn∈N,un=. vn−1 d. Lasuiteuconverge vers−1.
EX E R C IC E13 Soientbetndeux entiers naturels tels queb>2 etn>2. Une urne contient 2 boules blanches et (b−2) boules noires, indiscernables au tou cher. On tire au hasard une boule de l’urne, on repère sa couleur et on la remet dans l’urne. On répète ainsinfois cette expérience. On désigne parpnsla probabilité de tirer une boule blanche et une seule lors de (n−1) premiers tirages et une boule noire aunième tirage. 2 a.p2=1−. 2 b µ ¶ n−1 2(n−1) 2 b.pn=1−. b b ¡ ¢ c.lim lnpn0= +∞. n→+∞ pn d.limn−1=1. n→+∞ 1
EX E R C IC E14 Un jeu consiste à lancer trois fois de suite et de façon indépendante un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On obtient ainsi une partie com plète en trois manches, chaque lancer constituant une manche. Le joueur gagne la partie s’il obtient «1 » ou « 2 » à chaque lanc er. Il perd dans les autres cas. La partie coûte 1 euro ; le joueur reçoit 27 euros s’il gagne la partie. 1 a..La probabilité de gagner une partie est 27 b.Ce jeu est équitable. c.La probabilité pour un joueur de gagner au moins une fois en trois parties est 1 9 d.La probabilité qu’un joueur gagne une partie sachant qu’il a gagné la première manche est la même que la probabilité quil gagne la première manche sa chant qu’il a gagné la partie.
EX E R C IC E15 L’espace est muni d’un repère orthonormal. On considère le système x+2y−3z=1 [S] :−3x+y+2z= −3 2x−3y+z=2
Terminale S
5
Concours Fesic 14 mai 2005
On appellePle plan d’équation cartésiennex+2y−3z=1 etDla droite définie par ½ −3x+y+2z= −3 le système d’équations : 2x−3y+z=2
a.Le système [S] admet pour unique solution en (x;y;z) le triplet ( 2 ; 1 ; 1). b. LadroiteDest contenue dans le planP. ½ x−y=1 c.Le systèmeest un autre système qui permet de définir la y−z=0 droiteD. −→ d. Levecteuru1)est un vecteur directeur de la droite(2 ; 1 ;D.
EX E R C IC E16 ³ ´ −→−→−→ L’espace est rapporté à un repère orthonorméO,ı,,k. On considère par leurs ¡ ¢¡p¢ coordonnées les points A1 ;−1+2 ; 2, B3 ;−1−2 ;4 etC(2 ;−1 ; 3) . On appelleΣl’ensemble des points de coordonnées (x;y;z) tels que : (x−1)(x− 3)+(y+1−2)(y+1+2)+(z−2)(z−4)=0. p Pest le plan d’équation cartésienne :x−y+z2=3 2−1. a.Σest une sphère dont un diamètre est [AB]. b.Σest une sphère de centre C. ¡p¢ 3 1+2 c.La distance de C àPest . 2 d.Pest tangent àΣ.
Terminale S
XXXXXXXXXXXXXXXXX
6
