Corrige du partiel
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Niveau: Supérieur
Corrige du partiel 2011 EXERCICE 1 Soient f et g les deux fonctions de variable complexe f(z) = |z|2 et g(z) = z2. On note par ? le segment oriente de ?1 + i a 1 + i. 1. Calculer ∫ ? f(z) dz et ∫ ? g(z) dz. 2. Chercher un chemin ? de ?1 + i a 1 + i tel que ∫ ? f(z) dz 6= ∫ ? f(z) dz. La fonction f admet-elle de primitive dans C ? 3. Calculer ∫ ? g(z) dz. Corrige 1. Soit ? : [?1, 1] ? C, ?(t) = t + i, une parametrisation du segment oriente de ?1 + i a 1 + i. On a ??(t) = 1. Ensuite f(?(t)) = t2 + 1 et g(?(t)) = t2 ? 1 + i2t. Donc, ∫ ? f(z)dz = ∫ 1 ?1 (t2+1) dt = 8 3 , ∫ ? g(z) dz = ∫ 1 ?1 (t2?1+i2t) dt = ? 4 3 . 2.
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Corrige du partiel 2011 EXERCICE 1 Soient f et g les deux fonctions de variable complexe f(z) = |z|2 et g(z) = z2. On note par ? le segment oriente de ?1 + i a 1 + i. 1. Calculer ∫ ? f(z) dz et ∫ ? g(z) dz. 2. Chercher un chemin ? de ?1 + i a 1 + i tel que ∫ ? f(z) dz 6= ∫ ? f(z) dz. La fonction f admet-elle de primitive dans C ? 3. Calculer ∫ ? g(z) dz. Corrige 1. Soit ? : [?1, 1] ? C, ?(t) = t + i, une parametrisation du segment oriente de ?1 + i a 1 + i. On a ??(t) = 1. Ensuite f(?(t)) = t2 + 1 et g(?(t)) = t2 ? 1 + i2t. Donc, ∫ ? f(z)dz = ∫ 1 ?1 (t2+1) dt = 8 3 , ∫ ? g(z) dz = ∫ 1 ?1 (t2?1+i2t) dt = ? 4 3 . 2.
- parametrisation de l'arc de parabole
- determination holomorphe de z
- chemin ? de ?1
- developpement en serie entiere
- serie entiere de rayon de convergence
Corrig´edupartiel2011 EXERCICE 1 2 2 Soientfetgles deux fonctions de variable complexef(z) =|z|etg(z) =z. On note parσengmsele´tneirotede−1 +ia` 1+i. R R 1. Calculerf(z)dzetg(z)dz. σ σ R R 2. Chercherun cheminγde−1 +i+`a 1itel quef(z)dz6=f(z)dz. γ σ La fonctionfadmet-elle de primitive dansC? R 3. Calculerg(z)dz. γ Corrige´ 1.Soitσ: [−1,1]→C,σ(t) =t+itndioatisengm´eus,nuperamae´rt 02 orient´ede−1 +i`a 1+ia. Onσ(tEnsuite) = 1.f(σ(t)) =t+ 1et 2 g(σ(t)) =t−1 +i2t. Donc, Z ZZ Z 1 1 8 4 2 2 f(z)dz= (t+1)dt=, g(z)dz= (t−1+i2t)dt=−. 3 3 σ−1σ−1 2 2.Soitγ: [−1,1]→C,γ(t) =t+ittaricodnrdiesla’amb´oelteppaarrauene 02 4 orient´ede−1 +ia` 1+i. Onaγ(t+) = 1i2t. Ensuitef(γ(t)) =t+t. Donc Z Z 1 16 2 4 f(z)dz= (t+t)(1 +i2t)dt=. γ−115 R Observons quefn’a pas de primitive dansC, sinon on obtiendraitf(z)dz= R σ f(z)dz, parce queσetγsont deux chemins dansCstnimeˆmopseayantles γ ded´epartetd’arriv´e. 1 3 3.Observons quegede`ssopimirpenutiveGdansC`u,oG(z) =z. Donc R R 3 4 g(z)dz=g(z)dz= . γ σ3
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