ICNA - Epreuve optionnelle 2005 Classe Prepa PC ENAC
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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de ICNA - Epreuve optionnelle 2005. Retrouvez le corrigé ICNA - Epreuve optionnelle 2005 sur Bankexam.fr.
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Questions liées.
ÉNONCÉ
[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12,13] [14,15,16,17,18] [19,21,21,22,23] [24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34] [35,36,37,38,39,40]
Une diode à vide est constituée d'une cathode métallique filiforme C portée par l'axe Oz d'un repèreR(Oxyz) et d'une anode métallique cylindrique A coaxiale à la cathode, de hauteur h et de rayon R. Une source de tensionz connectée aux bornes de la diode délivre une tension continue VUCledV=Aa−c VhtaCedopeul'oniretfare.avirernOpqupeouroriginedesopettneisl(VCp0oe=l)r.alienttednA R L'espace inter-électrode compris entre l'anode et la cathodeC contient des électrons qui ont été émis sans vitesse initialeez zr ldeespvuaisrilaablceastrh,oθd,tsmèuyspertserapeérén'udMontrecélsipoontie.daLlycrdnieuqiedsdeeooconrdesnéeθh zM baseer,eθ,ezdéfini sur le schéma de la figure ci-contre.er Compte tenu de la symétrie du problème, la vitessev desO déleerc.tronsainsiquelachargevolumiqueρde sont fonctions quexθy On rappelle que le laplacien∆f(r) d'une fonction scalaire f(r) qui ne dépend que de la variable r s'écrit, dans le système de coordonnées cylindriques : df r ∆f r= r1 d ( )r drdr)
1.obéit le potentiel V(r) en un point quelconque de l'espace l'équation différentielle à laquelle Écrire inter-électrode.a) d2V2(r)+1 dV(rερ+)0r=)0b) d2Vdr2r)+2drrVrdρε)+r=)0 dr r dr0 d2V r 2 dV r r + −c) dr2 +( )r drε−ρ)(0=)0d) d2drV2r)rdVr1rd)ερ0r)=0
2. Déduire de l'application du théorème de l'énergie mécanique, l'expression de la vitesse v(r) des électrons (que l'on supposera non relativistes), en fonction de leur charge−e, de leur masse m et du potentiel V(r) (on négligera la force de pesanteur devant la force électrique). a) v(r) =eV(r)b) v(r) =2eVm(r)c) v(r ε) =0e2Vm(r)d) v(r) =2emV(r)m
3. Calculerl'intensité I(r) du courant qui traverse la surface cylindrique d'axe Oz, de rayon r, de hauteur h et de normalen=−er, en fonction deρet de la vitesse v(r) des électrons.(r), h, r a) I(r) = −πh rρ(r)v(r)b) I r) = −2πε0h r2ρr)v r)c) I(r) = −2πh rρ(r)v(r)d) r I) = −πε0h r2ρr)v r)
4. Montrer que le potentiel V(r) obéit à l'équation différentielle : d2V r dV r I K−2 r=r dr2)+dr( ) )( (V(r))1 /Exprimer K.
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a) K 1 = 2πε0h
m 2e
K=1 b)4πε0h
2m e
c) K=2π1ε0h
2e m
ICNA - SESSION 2005
d) K=8π1ε0h
m e
5. Enrégime stationnaire, l'intensité traversant une surface cylindrique de rayon r quelconque et d'axe Oz est indépendante du rayon r du cylindre. On cherche des solutions de la forme V(r) =Arαoù A est une constante. Calculerα. a)α =3b)α =23 2
c)α =21
3 d)α= 5
6. que Montrerla relation entre l'intensité I et le potentiel d'anode VA Is'écrit :=C V2/3A. Exprimer C. 8πε0h 2e a) C=4π5εR0hmeb) C=2π7εR0hmec) C=4πεh0mRed)9R m C =
7. un modèle proposé par Yukawa, le potentiel V(r) et le champ électrique DansE(r) qui règnent dans un plasma, en un point M de l'espace situé à une distance r = ||r|| ||OM|| d'une origine O sont créés = par un ion positif de charge q placé en O et pardeux distributions diffuses de charges positives et négatives occupant tout l'espace. Les charges volumiques respectivesρ+(r) etρ−(r) de ces distributions diffuses sont données par les relations : ρ+(r) = ρ0exp−VV0r) etρ−(r) = −ρ0expVV0r)oùρ0et V0sont des constantes à une température donnée. Aux très hautes températures correspondant à une fusion thermonucléaire, on a V(r)/V0 <<Exprimer, au premier ordre par rapport à V(r)/V 1. 0, la charge volumique totaleρ(r) correspondant aux deux distributions diffuses. a)ρ(r) = −2ρ0VV(0r)b)ρ(r) = ρ0VV(0r)c) r) =0d)ρ(r) = −ρ0VV(0r)
8. laplacien d'une fonction scalaire f(r) de Lela variable r seule est donné, dans le système de :∆f(r) =1 d2rrfdr)). En utilisant l'équation de Poisson, montrer coordonnées sphériques par la relation r2 que le potentiel V(r) obéit à l'équation différentiell2)) rr V) e:ddrr2V r=r02. Exprimer r02. a)r2= ρ0b) r02ε=V0c) r02=20ρV00d) r02=ρV000 2ε0V0 0ρ0 9. Montrer que, compte tenu du modèle choisi pour représenter le plasma et de la nécessité pour le potentiel de conserver une valeur finie en tout point de l'espace, le potentiel en M peut s'écrire : V r=Apxe−r. Exp ( )rr0rimer A. a) Aε=q0b) A=q4c) A=2πqε0d) Aπ=qε0πε0 10. le champ électrique CalculerE(r) en M. a)E(r) = πqε0r21+2 r0exp−rr0b)E(r) =2πqεrr3exp−rr r0r0 r rEr qr3 r1 exp = c)E(r ε) =q0r2exp−rr0d)( )4πε0r+r0−r0 11. le flux CalculerΦdu champ électriqueEà travers une sphère de rayon R centrée en O. q 1 R R a)Φ =4πqε01+Rr0exp−Rr0b)Φ =+exp − ε0r0r0
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ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ
− c)Φ =2πqε01+Rr0exprR0d)Φ = εq0rR0exp−Rr012. En déduire lacharge totale diffuseQ0contenue dans une sphère de centre O et de rayon r. a) Q0=q−1+1+rr0exp−rr0b) Q0=q1+r0exp−rr0r r r c) Q0=q1+2 r0exp−r0d) Q0=q−1+exp−r r r0r0
13. la Exprimercharge volumique diffuse totaleρ(r) à une distance r de l'origine. a)ρ(r πε) =q0 3exp−rr0b)ρ(r π) =qr2r0exp−rr04 r 4 c)ρ(r) = − πεq003exp−rr0d)ρ(r) = −4πrrq02exp−rr02 r
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14. On considère le circuit représenté sur le schéma de la figure ci-contre où l'amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire et peut être considéré comme idéal. La tensionR2 sinusoïdale d'entrée, d'amplitude complexe Veet de pulsationω, est appliquée sur la borneZ3S inverseuse de l'amplificateur. La tension de sortie,∞ d de c S'admuplciitrucuit.oZm1Zpl,xee3Z,V4sedtnospséedatesruimcnces,upointeillieaZZV4Vs 1 e dont on précisera la nature plus loin, R2 une est résistance.Exprimer la fonction de transfert T=VVse du montage.
a) T=ZZ+4RZ2Z+Z13 4 1 c)T=ZZ+1ZR2R+Z11 4 2
Z+ b) T4R2ZZ3= Z1+Z4 3 d) T=R2R+2Z4Z4Z+Z14
15. Z L'impédance1est constituée d'une bobine de coefficient d'auto-inductance L, d'un condensateur de capacité C et d'un résistor de résistance r, ces trois éléments étantconnectés en série. Z3et Z4sont des résistors purs de résistances respectives R3et R4. Pour quelle valeurω01de la pulsationωles tensions d'entrée Veet de sortie Vssont-elles enphase? a)ω01=1b)ω01=2c)ω01=1d)ω01=R22 LC LC LC r LC
16. Lorsqueω=ω01, quelle doit être la valeur de R2pour que les amplitudes des tensions d'entrée et de sortie soient égales ? R3+4 a) R2=RR43rb) R2=RR34rc) R2=R3+3R4rd) R2=RR4Rr
17. Z L'impédance1 maintenant un résistor pur de résistance R est1 Z. L'impédance3 est constituée d'un condensateur de capacité Cen sérieavec un résistor de résistance R. L'impédance Z4est constituée
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ICNA - SESSION 2005
d'un condensateur de capacité Cen parallèleavec un résistor de résistance R. Pour quelle valeurω02de la pulsationωles tensions d'entrée Ve Vet de sortiessont-elles enphase? a)ω02=R1R+R2RC1b)ω02=R121c)ω02=RR12C1Rd)ω02=1CR1R RC
18. Lorsqueω=ω02, quelle doit être la valeur de R2pour que les amplitudes des tensions d'entrée et de sortie soient égales ? b) R2=R1c) R2=R21d) R2=R231
a) R2=2R1
Un écran opaque est percé d'une fenteFde largeurεet de longueur a >>ε. La fente est centrée dans le pplaaranllèxleOyàld'aungratrnidèedredimOexnysziondodnetlla'afxeenteOy(voeisrtxLX figure ci-contre).ε st éclairée par une onde plane Lmaonofcehntreomaetique,d'amplitudeψ0, de longueurFPz d'onde dans le videλ, provenant d'une source FO O' ponctuelle S1 située à l'infini et dont le vecteur d'ondek1est parallèle à l'axe Oz.a On observe l' de diffractée parF dans le plany Y focalimageFXonYd'unelentilleminceconvergentef ' L, dont l'axe optique est confondu avec l'axe Oz et dont la distance focale image est f ' .
19. admettant que a >> Enλ, montrer que l'éclairementE1point P (X,Y) du plan focal imageen tout deL, peut se mettre sous la forme :E1=ψ20sin(πuπXXu)2. Exprimer u. a) u=ελf 'b) uε=λf 'c) uλ=f 'εd) u=λεf '
20. Calculer la demi largeur à la base,δX1de la figure de diffraction dans le, du maximum central plan FXY. a)δX1=ελf 'b)δX1ελ=f 'c)δX1= εfλ'd)δX1ελ=πf '
21. considère maintenant une source lumineuse ponctuelle monochromatique S On2, de longueur d'onde dans le videλ, située à l'infini, émettant une onde plane dont le vecteur d'ondek2, contenu dans le plan xOz, fait un angleθpetit avec l'axe Oz. Montrer que l'éclairementE2en tout point P (X,Y) du plan focal image deL, peut s'écrire :E2=ψ20sin(πβ)2. Exprimerβ. πβ a)ελβ=f '(X−f ')b)λε=βf '(X+f ')c)ελβ=fθ'(θX+f ')d)βλε=f '(X− θf ')
22. la demi largeur à la base, ExprimerδX2, du maximum principal de la figure de diffraction dans le plan FXY. a)δX2=λθεf 'b)δX2ε=θfλ'c)δX2= θπ εf 'd) X=λεf ' λδ2
23. observe maintenant l'intensité diffractée par la fente OnF est éclairée simultanément lorsqu'elle par les deux sources S1et S2. On admet que les deux figures de diffraction sont séparées dans le plan focal FXY si la distanceAentre les deux maxima principaux est au moins égale à la demi largeur à la base de ces maxima (critère de Rayleigh). Exprimer le pouvoir séparateur de la lentille défini comme étant la plus petite valeurθ0deθdonnant deux figures de diffraction séparées.
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ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ
a)θ0= λε
b)θ0= π λε
c)θ0λ=ε
d)θ0=πελ
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Un corps solide indéformable de masse m = 0,1 kg, de capacité thermique massique c = 460 SI, en équilibre à la température Tiun thermostat réglé à la température T= 350 K, est placé dans 0= 280 K. 24. Dans le Système International (SI), la capacité thermique massique s'exprime en : a)J−1.K.kgb)J.kg−1c)J.K−1.kg−1d)K−1kg−1 . 25. Calculer numériquement la variation d'énergie interne∆U du corps lorsqu'il a atteint son nouvel état d'équilibre. a)∆U =−5,32 kJb)∆U =−3,22 kJc)∆U =−12,47 kJd)∆U =−7,36 kJ 26. Calculer numériquement la variation∆S de son entropie. a)∆S =−17,5 J.K−1b)∆S = 32,2 J.K−1c)∆S = 5,7 J.K−1d)∆S =−10,3 J.K−127. l'entropie échangée, S Calculere, lors de cette évolution entre le corps et le thermostat. a)Se=−11,5 J.K−1b)Se= 0 J.K−1c)Se= 2,7 J.K−1d)Se=−2,7 J.K−1 28. Calculer l'entropie produite, Sp, lors de cette évolution. a)Sp= 0 J.K−1b)Sp= 1,2 J.K−1c)Sp=−17,15 J.K−1d)Sp= 13,7 J.K−1
29. onde électromagnétique non plane se propage dans le vide suivant la direction de l'axe Oz Une d'un trièdre trirectangle Oxyz. Les composantes du champ électriqueEdans la baseBassociée au trièdre s'écrivent, en notation complexe : E=Ex=E0x(x)exp(i(ωt+z))), Ey=0 , Ez=E0zx)exp iωt+z) + ϕ0))Les fonction E0x(x) et E0z(x) sont des fonctions réelles de la variable x,ϕ(z) est une fonction réelle de la variable z etϕ0est une constante réelle positive. L'équation de Maxwell-Gauss permet d'écrire l'équation différentielle : dE0x(x+)f(x, z)exp(iϕ )0 i dx0= Exprimer la fonction réelle f(x,z). a)(z)E(x)dϕz) f x,=0xdzb) f(x, z) =E0z(x)ddϕzz)c) f(x, z) = −E0z(x)dd2zϕ(2z)d) x, z f) = −E0xx)z)
30. 0;équation différentielle et si l'on ne considère que l'intervalle cette Deπ], on peut déduire que : a)ϕ0= 0b)ϕ0=πc)ϕ0=π/2d)ϕ0=π/4 31. d définit une constante réelle positive k et l'on suppose que d Onϕzz)<0 . Si l'on prend l'origine des phases en z = 0, on déduit de l'équation différentielle précédente que : a)ϕ(z) = −k2zb)ϕ(z) = −kz2c) z) =kzd)ϕz) = −k2z2
32. utilisant les résultats précédents et l'équation de propagation du champ électrique, on obtient les En équations différentielles suivantes : d2Edx2x0(x)+k20E0x(x) =0 et d2Exd2z0(x)+k'20E0z(x) =0 On désigne par c la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. Exprimer k02et k'02. ω2ω2b)k02= ω2+k et k'=ω2+k a) k02=2−k2et k'02= −k2222022 2 c c c c kω2ω2−k= ω2− kk et= ω2+2 2 2 c)0=2+ k'k et0=2k2d)0222'022k2 c c c c
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