BAC Mathematiques 2006 SES

BaccalauréatESPondichéry3avril2006 EXERCICE1 4points Communàtouslescandidats exp(2) B 7 6 La courbe ci-contre C est la repré- 5f sentation graphique d’une fonction 4 f définie, continue et dérivable sur

5 3 −∞; . 2 2 Onnote f sa fonction dérivée etF la Cf 1primitivede f quivérifie:F(1)=2e. AOnprécise: • lim f(x)=0etpourtout −6 −5 −4 −3 −2 −1 1234x→−∞ −1 x<0, f(x)>0. • La tangente à la courbe au point −2   2A(2;0)passeparlepointB 1;e . −3 6 •F(−3)= . 3 −4e −5 −6 Pourchacunedeshuitaffirmations,précisezsurvotrecopiesielleestvraieoufausse (aucunejustificationn’estdemandéeetiln’estpasnécessairederecopierl’énoncé). Barème: Àchaque questionest attribué 0,5 point. Uneréponseinexacte enlève 0,25 point Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatifilestramenéàzéro. Affirmation1 Affirmation5 2  Pourtoutx ∈]−∞;2],f (x)
0. f (x)dx=−2 0 Affirmation2 Affirmation6 12Lenombredérivéen2delafonction f estégalàe . Lafonction estdéfiniesur]−∞;2]. f Affirmation3 Affirmation7 1 LafonctionF présenteunmaximumen2. Lalimitedelafonction en−∞est+∞. f Affirmation4 Affirmation8 1 L’airedelapartieduplancompriseentreC ,l’axe Lacourbereprésentativedelafonctionf f desabscisses,lesdroitesd’équationsx=−3etx =1 présenteuneasymptoted’équationx =2. 42e −6 estégale(enunitéd’aire)à 3e EXERCICE2 5points Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité Pourpasser letemps, Chloé etMargauxinventent unjeuavecleur paquetde32 cartesàjoueretunpaquetdebonbons. On rappelle que, dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleurs (pique, trèfle, cour, carreau) et, dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame,roi,as). Margauxproposelarèglesuivante:BaccalauréatES • On tire une carte, on regarde si c’est un roi. Sans remettre la carte dans le paquet,ontireunesecondecarteetonregardesic’estunroi. • Si, sur les deux cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons; si onatirédeuxrois,ongagne20bonbons;sinon,onaperdu! Onnote: R l’évènement «tirerunroiaupremiertirage»etR sonévènement contraire,1 1 R l’«tirerunroiaudeuxièmetirage»etR sonécontraire.2 2 1. Justifierlesvaleursdesprobabilitéssuivantes: 1 3 4 P(R )= P (R )= P (R )= .1 R 2 21 R18 31 31 2. On traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l’arbre ci-dessous en ins- crivantlesprobabilités,enécriturefractionnairesurchaquebranche. R2R1 R2 R2 R1 R2 Dans cequi suit, lesprobabilitésserontdonnéessousformedécimalearrondie aumillième. 3. Calculer laprobabilitédesévènements : A«tirerunroiaupremiertirageetaudeuxièmetirage»; B«tirerunroiàunseuldesdeuxtirages» 4. Ons’intéresse aunombre X debonbonsgagnésaprèsdeuxtirages. Recopieretcompléter letableausuivantquidonnelaloideprobabilitédeX. Nombredebonbonsx 0 10 20i P(X =x ) 0,226i 5. Calculer l’espérancemathématique Edecetteloi,arrondieaudixième. EXERCICE2 5points Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l’exclusi- vité de l’acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que lenombredetouristestransportéspendantchaquesaisoneststable. La société «Alizés» a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005 afin deprévoirl’évolution delacapacitéd’accueildesesnavires. L’analyse des résultats a conduit au modèle suivant : d’une année sur l’autre, la so- ciété«Alizés»,notéeA,conserve80% desaclientèleetrécupère15%desclientsde lasociétéconcurrente,notéeB. Pourtoutentiernatureln,onnotepourlasaison(2005+n): • a laprobabilitéqu’untouristeaitchoisilasociétéAlizés(A),n • b laprobabilitéqu’untouristeaitchoisil’autresociétédetransport(B),n • P =(a b ),lamatricetraduisantl’étatprobabiliste,avec a +b =1.n n n n n −4Lesrésultatspourlesprobabilitésserontarrondiesà10 . Pondichéry 2 3avril2006    BaccalauréatES 1. a. Modéliserlechangementdesituationparungrapheprobabilistedesom- metsnommésAetB. b. Onnote M la matrice detransition de cegraphe. Recopier et compléter   0,8 ... surlacopielamatricesuivante:M = 0,15 ... c. En 2005, la société «Alizés» a transporté 45% des touristes. On a donc a =0,45.0 i. Calculer la probabilité qu’un touriste choisisse la société «Alizés» en2006. ii. DéterminerlamatriceP etinterprétercesrésultats.2 d. SoitP =(ab)aveca etb deuxréelspositifstelsque a+b=1. i. Déterminer a etb telsqueP =P ×M. ii. Endéduire lim a .n n→+∞ iii. Interprétercerésultat. e. On admet qu’en 2015, la probabilité qu’un touriste choisisse la société 3 Aest . On interroge quatre touristes choisis au hasard; les choix des 7 touristessontindépendantslesunsdesautres. Determinerlaprobabilitéqu’aumoinsundesquatretouristeschoisisse lasociété«Alizés»poursesvacancesen2015. EXERCICE3 4points Communàtouslescandidats L’objectifdecetexerciceestdedémontrerlapropriétéalgébriquefondamen- taledelafonctionlogarithmenépériennotéeIn. Propriétéfondamentale: Pourtousréelsstrictementpositifs a et b,ln(ab)=lna+lnb. Rappels On rappelle les résultats de cours suivants, auxquels le candidat fera claire- mentréférencepourjustifierchacunedesesaffirmationsaucoursdesétapes deladémonstration(onpourraenrappelerlenuméro). Théorème 1 : Sur un intervalle I, deux primitives d’une même fonction dif- fèrentd’uneconstante. Théorème2:Soitu unefonctiondéfinie,dérivableetstrictementpositivesur unintervalleI,lafonctioncomposéedéfinieparx →ln[u(x)]estdérivablesur u (x) I,defonctiondérivée x→ . u(x) Théorème3: La somme f de deux fonctions dérivables u et v sur un même   intervalleIestdérivablesurIet f =u +v . Définitionln1=0. Énoncédel’exercice Soit a unréelconstantstrictementpositif. Onconsidèrelesfonctions f et g,delavariablex,définiessur0 ; +∞[par: f(x)=ln(ax)etg(x)=lna+lnx. Partie1 Danslecasoùa=2,donnerlesfonctionsdérivéesde f : x →ln(2x)et g : x →ln2+lnx. Partie2:démonstrationdelapropriété Pondichéry 3 3avril2006BaccalauréatES a. Calculer et comparer les dérivées de f et de g dans le cas général où a estunréelconstantstrictementpositif. b. Pourquoipeut-onaffirmerqu’ilexisteunréelk telque,pourtout x ∈]0; +∞[, f(x)=g(x)+k? c. Enposant x=1,déterminerlavaleurdek. d. Justifier la propriété fondamentale de la fonction ln énoncée en début d’exercice. EXERCICE4 7points Communàtouslescandidats Partie1 Soientlesfonctions f et g définiessur[0;9]par 10 x f(x)= −1etg(x)= . 1+x 2 1. Résoudrealgébriquementl’équation : f(x)=g(x). 9 2. Calculer l’intégrale:I= f(x)dx;ondonneralavaleurexactedeI. 3 Partie 2 Un produit conditionné en boite est mis sur le mar- ché. On désigne par x le prix d’une boîte de ce produit en quantités9dizainesd’euros. On admet que la quantité 8achetée par les consomma- teurs, en fonction du prix x 7 appliqué sur le marché, est 6donnéepar f (x)encentaines deboîtes. 5 On admet que la quantité y = f(x) y =g(x) proposée sur le marché par 4 les producteurs, en fonction 3duprix devente x auquel les producteurs sont disposés à 2 Evendre, est donnée par g(x) encentainesdeboîtes. 1 Sur le graphique ci-contre, prixA 0sont tracées dans un repère 0123456789orthonormal les courbes re- présentativesdesfonctions f et g. 1. On pourra utiliser le graphique pour conjecturer les réponses aux questions suivantes, puisonlesjustifieraalgébriquement. a. Combien de boîtes seront achetées par les consommateurs si le prix de venteestde40euroslaboite? b. Lorsque l’offreest égaleàla demande,le marchéa atteintsonéquilibre. Donner le prix d’équilibre, en euros, et le nombre de boîtes correspon- dant. Pondichéry 4 3avril2006BaccalauréatES 2. a. D’aprèslegraphique,lesproducteursétaientdisposésàvendrelesboîtes à un prix inférieur au prix d’équilibre. On appelle surplus des produc- teurs le gain réalisé en vendant les boîtes au prix d’équilibre. Ce gain est donné en milliers d’euros par l’aire du triangle OAE (1 unité d’aire =1millier d’euros).Calculercesurpluseneuros. b. Le surplus des consommateurs est l’économie réalisée par les consom- mateursquiétaientprêtsàpayerpluscherqueleprixd’équilibre.Cesur- plus est donné, en milliers d’euros, par l’aire de la partie grisée du plan surlegraphique(3
x
9).Préciserquelleintégralepermetdecalculer cesurplusetendonnerl’arrondiàl’euro. Pondichéry 5 3avril2006