BAC S 2012 suites
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Français
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2014
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suites numériques (sujet centres étrangers)
suite de points
suites arithmético-géométriques et suite associée
limite d'une suite
Premi`ereS-exericecocrrgie´
Chapitre 4:Suites
Chapitre4:BACScentres´etrangers2012
EXERCICE 4-9-15
tempsestim´e:30-45mn
−→
Onconside`reunedroiteDnuei’dnumO;rep`erei.
Soit (An) la suite de points de la droiteD:efieinis´dani
-A0;est le point O
-A1;est le point d’abscisse 1
- pour tout entier natureln, le pointAn+2est le milieu du segment [AnAn+1].
1.sur un dessin la droitea) PlacerD, les pointsA0,A1,A2,A3,A4,A5etA6.
Onprendra10cmcommeunite´graphique.
☛Solution:
Pour tout entier natureln,An+2est le milieu du segment [AnAn+1]
doncA2(en prenantn= 0) est le milieu de [A0A1]
Demˆeme,doncA3(en prenantn= 1) est le milieu de [A1A2]
b) Pourtout entier natureln, on noteanl’abscisse du pointAn.
Calculera2,a3,a4,a5eta6.
☛Solution:
On aa0=xA0= 0 eta1=xA1= 1
xA0+xA1a0+a10 + 11
a2=xA2= == =
2 22 2
1
1 +
xA1+xA2a1+a23
2
a=x= == =
3A3
2 22 4
1 3
+
a2+a35
2 4
a4=xA4= ==
2 28
3 5
+
a3+a411
4 8
a5=xA5= ==
2 216
5 11
+
a4+a521
8 16
a6=xA6= = =
2 232
1 3 5 11 21
a2= ,a3= ,a4= ,a5= ,a6=
2 4 8 16 32
Chapitre 4:Suites
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Mathspremi`ereS
Premi`ereSgirre´ex-ciercoce
Chapitre 4:Suites
an+an+1
c) Pourtout entier natureln:e´j,rlfietiusitaleg’´an+2= .
2
☛Solution:
An+2d’abscissean+2est le milieu de deAn+1d’abscissean+1et deAnd’abscissean
xAn+1+xAnan+1+an+1
donca=x= =
n+2An+2
2 2
an+1+an+1
doncan+2=
2
1
Pour la suite, on admet que pour tout entiern,an+1=−ananndiostonen’´sliate´e´ct+.1l(qaeu
2
De´montrerparr´ecurrenceque....)
2.Soit (vn´detinfiel)iusaenutertipoe,touranuterln, par
2
vn=an−.
3
1
D´emontrerque(vntiusenutse)deueiqtr´eom´eegnoarsi−.
2
☛Solution:
2
Pour tout entier natureln, on avn=an−
3
2
doncvn+1=an+1−
3
1 2
vn+1=−an+ 1−
2 3
1 1
=−an+
2 3
1 22
=−an−orvn=an−
2 33
1
=−vn
2
1
donc (vnte´muqirredeosiast)eesunteuieog´nq=−
2
2 2
et de premier termev0=a0−=−
3 3
1 2
(vndeueiqtr´eom´eegtiusenutse)arsinoq=−et de premier termev0=−.
2 3
3.aselteuiimaleditimrelrente´D(vn), puis celle de la suite (an).
☛Solution:
1 2
(vntune)esgee´ustirtqimoe´deueisraonq=−et de premier termev0=−
2 3
n
n
2 12 (−1)
n
doncvn=v0×q=− × −=− ×
n
3 23 2
n
On alim 2 =+∞
n→+∞
n
(−1)
donc lim= 0
n
2
n→+∞
Chapitre 4:Suites
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Mathspremie`reS
Premi`ereS´eigocrricecxere-
Chapitre 4:Suites
et limvn= 0
n→+∞
2 2
Pour tout entier natureln, on avn=an−doncan=vn+
3 3
2 2
et par sommeliman= limvn+ =
3 3
n→+∞n→+∞
2
liman=
3
n→+∞
Chapitre 4:Suites
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Mathspremi`ereS
