Baccalauréat C Aix–Marseille septembre
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Français
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1978
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Aix–Marseille septembre 1978 \ EXERCICE 1 Un plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, ??ı , ??? ) . On appelleD (respectivement∆) la droite dont un vecteur directeur est??u =??ı cos(?)+ ??? sin? (respectivement ??v =??ı cos(?)???? sin?) avec 0< ? < pi4 . 1. Pour tout point M de P , démontrer qu'il existe un et un seul bipoint (P ; Q) dont M soit le milieu et tel que P ?D, Q ?∆ 2. On appelleQ ? (respectivement P ?) le projeté orthogonal de P (respectivement Q sur ∆ (resp. D) et M ? le milieu du bipoint (P ? ; Q ?). On désigne par S l'appli- cation de P dans P telle que S(M)=M ?. Démontrer que S est bijective. 3. On pose ???OP = r??u , ???OQ = r ???v . Calculer en fonction de r, r ?, ?, les coordonnées (x ; y) de M et (x? ; y ?) de M ?. 4. Démontrer que S est une similitude indirecte dont on précisera le centre, l'axe et le rapport. EXERCICE 2 Soit E l'ensemble des triplets X = (p, q, r ) (p ?Z,q ?Z,r ?Z?) tels que p2+q2 = r 2.
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[ Baccalauréat C Aix–Marseille septembre 1978 \ EXERCICE 1 Un plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, ??ı , ??? ) . On appelleD (respectivement∆) la droite dont un vecteur directeur est??u =??ı cos(?)+ ??? sin? (respectivement ??v =??ı cos(?)???? sin?) avec 0< ? < pi4 . 1. Pour tout point M de P , démontrer qu'il existe un et un seul bipoint (P ; Q) dont M soit le milieu et tel que P ?D, Q ?∆ 2. On appelleQ ? (respectivement P ?) le projeté orthogonal de P (respectivement Q sur ∆ (resp. D) et M ? le milieu du bipoint (P ? ; Q ?). On désigne par S l'appli- cation de P dans P telle que S(M)=M ?. Démontrer que S est bijective. 3. On pose ???OP = r??u , ???OQ = r ???v . Calculer en fonction de r, r ?, ?, les coordonnées (x ; y) de M et (x? ; y ?) de M ?. 4. Démontrer que S est une similitude indirecte dont on précisera le centre, l'axe et le rapport. EXERCICE 2 Soit E l'ensemble des triplets X = (p, q, r ) (p ?Z,q ?Z,r ?Z?) tels que p2+q2 = r 2.
- application f1
- repère orthonormé direct
- tion des applications
- ?? e?x2
- loi de composition interne
- équa- tion p2
- dt
[Baccalauréat C Aix–Marseille septembre 1978\
EX E R C IC E1 ³ ´ −→−→ Un plan euclidienPO,est rapporté à un repère orthonormé directı,. −→−→ On appelle D (respectivementΔ) la droite dont un vecteur directeur estu=ıcos(θ)+ −→−→−→−→π sinθ(respectivementv=ıcos(θ)−sinθ) avec 0<θ<. 4 1.Pour tout pointMdeP, démontrer qu’il existe un et un seul bipoint (P;Q) dontMsoit le milieu et tel queP∈D, Q∈Δ ′ ′ 2.On appelleQ(respectivementP) le projeté orthogonal deP(respectivement ¡ ¢ ′ ′′ QsurΔ(resp. D) etMle milieu du bipointP;Q. On désigne parSl’appli ′ cation dePdansPtelle queS(M)=M. Démontrer queSest bijective. −→→−−→−−→ ′ 3.On pose OP=r u, OQ=r v. ¡ ¢ ′ ′′ ′ Calculer en fonction der,r,θ, les coordonnées (x;y) deMetx;ydeM. 4.Démontrer queSest une similitude indirecte dont on précisera le centre, l’axe et le rapport.
EX E R C IC E2 ¡ ¢ ⋆2 2 2 Soit E l’ensemble des tripletsX=(p,q,r)p∈Z,q∈Z,r∈Ztels quep+q=r. On définit l’applicationfde E dans l’ensembleCdes nombres complexes telle que p+iq X∈E→7−f(X)= =Z. r 1.Montrer que, dans E, la loi notée⋆, définie par ¡ ¢ X1⋆X2=p1p2−q1q2,p2q1+p1q2,r1r2 ¡ ¢¡ ¢ avecX1=p1,q1,r1etX2=p2,q2,r2est une loi de composition interne. Calculerf(X1⋆X2). Montrer quefest un homomorphisme de (E,⋆) dans (C,∙). 2.Vérifier que siX0=(3, 4, 5),X0∈E. CalculerX0⋆X0,X0⋆(X0⋆X0). En déduire deux solutions, autres queX0, en nombres entiers positifs, de l’équa 2 2 2 tionp+q=r.
PR O B L È M E Rest l’ensemble des nombres réels. Fdésigne l’ensemble des applications deRdansR. On rappelle queFmuni de l’addition des applications et de la multiplication par un réel est unR espace vectoriel.
Partie A 1.Soitula fonction affine définie par :
2 x∈Ru(x)=a x+b(a;b)∈R.
Montrer queuvérifie la relation
¡ ¢ 2 ∀(x;y), (x;y)∈R,
|u(x)−u(y)|6|a| ∙ |x−y|.
Terminale C
A. P. M. E. P.
p 2 2.SoitVla fonction définie par :x∈R→−7V(x)=x+1. Montrer queVvérifie ¡ ¢ 2 ∀(x;y), (x;y)∈R,|V(x)−V(y)|6M|x−y|. 3.Soitfune application deRdansR, continue et bornée surR: (∃M,M∈R+), (∀t,t∈R),|f(t)|6M. a.Montrer qu’il existe une fonctionF, continue surR, définie par Z x x∈R,f→−7F(x)=f(t) dt. 0 2 b.Montrer que (∀(x;y), (x;y)∈R),|F(x)−F(y)|6M|x−y|. c.En déduire que les applicationsF1etF2définies par F1:x7−→sinx, x F2:x7−→Log (e+1) , vérifient respectivement, 2 ¯ ¯¯ ¯ (∀(x;y)∈R),F1(x)−F1(y)6|x−y|,F2(x)−F2(y)6|x−y|. Partie B On se propose d’étudier ensemble (L) des applications deRdansR, vérifiant la pro position :
© ¡¢ ª 2 p:∀f,f∈(L), (∃λf,λf∈R+),∀(X,Y), (X,Y)∈R,|f(x)−f(y)|6λf|x−y|
1.Montrer que (L) est un sousespace vectoriel de l’espace vectoriel (F,+,∙). 2.Établir que (∀f1,f1∈(L)), (∀f2,f2∈(L)),f2◦f1∈(L) où◦désigne la composi tion des applications. 3.Montrer que toute application de (L) est continue en tout point deR. Partie C 1.Soitϕl’application deRdansR: 1 x7−→ϕ(x)=π+sinx. 3 1 2 Vérifier que (∀(x;y), (x;y)∈R),|ϕ(x)−ϕ(y)|6|x−y|etϕ(π)=π. 3 2.Soit (un) la suite réelle définie par ⋆ u0∈R, (∀n,n∈N),un=ϕ(un−1) . 1 Établir que (∀n,n∈N),|un−π|6|u0−π|. n 3 En déduire que la suite (un) est convergente. Donner sa limite. Partie D 2 On définit les deux applications suivantes deRdansR 2 −x θ:x7−→e , Z x 2 −t G:x G(x)=e dt. 0 (On ne cherchera pas à calculerG(x)).
Aix–Marseille
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Terminale C
A. P. M. E. P.
1.Étudier la fonctionθ. Tracer sa représentation graphique dans un repère or ³ ´ −→−→ thonormé O,ı,. 2 −t 2.Montrer que (∀t,t∈R), e61. En déduire queGappartient à (L). 3.Montrer queGest dérivable en tout point deR. Étudier le sens de variation de G. Z x R2 x−t −t 4.Établir que (∀x,x>1), e dt6e dt. 1 1 En déduire que la fonctionGest bornée et damet une limiteℓ(qu’on ne cal culera pas) lorsquextend vers plus l’infini.
Aix–Marseille
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