Baccalauréat C Lille juin 1976
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Lille juin 1976 \ EXERCICE 1 On considère l'application de l'ensemble des complexes C dans lui-même qui, à z, associe f (z)= iz3+ (2i?1)z2? (i+4)z+3(2i?1) 1. Dans le cas où z est un réel, écrire f (z) sous la forme ?+ i? où ? et ? sont des réels exprimés en fonction de z. En déduire que l'équation f (z)= 0 admet une racine réelle z0 que l'on calcu- lera. 2. Démontrer que f (z) peut s'écrire f (z)= (z? z0) ( Az2+Bz+C ) et résoudre, dans C, l'équation f (z)= 0. EXERCICE 2 Soit ? la fonction numérique à variable réelle définie par { ?(x) = e? 1 x2 pour x 6= 0 ?(0) = 0 1. Démontrer que la fonction ? est continue sur R. 2. Démontrer que la fonction ? est dérivable sur R. 3. Étudier les variations de? et construire la courbe représentative de? dans un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 4. Démontrer que? est intégrable sur [0 ; x], x étant un réel quelconque.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Lille juin 1976 \ EXERCICE 1 On considère l'application de l'ensemble des complexes C dans lui-même qui, à z, associe f (z)= iz3+ (2i?1)z2? (i+4)z+3(2i?1) 1. Dans le cas où z est un réel, écrire f (z) sous la forme ?+ i? où ? et ? sont des réels exprimés en fonction de z. En déduire que l'équation f (z)= 0 admet une racine réelle z0 que l'on calcu- lera. 2. Démontrer que f (z) peut s'écrire f (z)= (z? z0) ( Az2+Bz+C ) et résoudre, dans C, l'équation f (z)= 0. EXERCICE 2 Soit ? la fonction numérique à variable réelle définie par { ?(x) = e? 1 x2 pour x 6= 0 ?(0) = 0 1. Démontrer que la fonction ? est continue sur R. 2. Démontrer que la fonction ? est dérivable sur R. 3. Étudier les variations de? et construire la courbe représentative de? dans un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 4. Démontrer que? est intégrable sur [0 ; x], x étant un réel quelconque.
- réel quelconque
- réel
- formules ?
- ?1 ?1
- déterminer ?
- point m0
- coordonnées
- équation dans le repère
- repère orthonormé
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Lille juin 1976\
EX E R C IC E1 On considère l’application de l’ensemble des complexesCdans luimême qui, àz, associe
3 2 f(z)=iz+(2i−1)z−(i+4)z+3(2i−1) 1.Dans le cas oùzest un réel, écriref(z) sous la formeα+iβoùαetβsont des réels exprimés en fonction dez. En déduire que l’équationf(z)=0 admet une racine réellez0que l’on calcu lera. 2.Démontrer quef(z) peut s’écrire ¡ ¢ 2 f(z)=(z−z0)A z+B z+C et résoudre, dansC, l’équationf(z)=0.
EX E R C IC E2 Soitϕla fonction numérique à variable réelle définie par ( 1 − 2 x ϕ(x)=e pourx6=0 ϕ(0)=0 1.Démontrer que la fonctionϕest continue surR. 2.Démontrer que la fonctionϕest dérivable surR. 3.Étudier les variations deϕet construire la courbe représentative deϕdans un ³ ´ −→−→ plan rapporté à un repère orthonorméO,ı,. 4.Démontrer queϕest intégrable sur [0 ;x],xétant un réel quelconque. (On ne demande pas de calculer l’intégrale deϕsur [0 ;x].
PR O B L È M E: On rappelle que l’ensembleM2des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels, muni de l’addition et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel surR. ′ SoitMl’ensemble des matrices carrées de la forme 2 a+b a−b 2 2 2 où (a;b)∈R. a−b a+b 2 2 et P le plan affine associé au plan vectorielP. On munitPde la base orthonormée ³ ´³ ´ −→−→−→−→ directeB=ı,ı, et P du repère orthonorméO,ı,. Partie A ′ 1.Démontrer queMest un sousespace vectoriel deM2. 2 µ ¶µ ¶ 1 11−1 2.SoitU=etV=. 1 1−1 1
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
′ a.Démontrer que (U,V) est une base deM. 2 2 2 b.CalculerU,V,U∙V,V∙U. ′ 3.Démontrer que la multiplication des matrices est une loi interne deM. 2 Partie B
Soitfa,bl’application de P dans P définie par les formules a+b a−b ′ x=x+y 2 2 a−b a+b ′ y=x+y 2 2 ′ ′′ xetydésignent les coordonnées d’un pointMetx,ycelles deM=fa,b(M),a etbsont deux nombres réels. 2 SoitFla famille des applicationsfa,b,quand (a;b) 2 parcourtR.
1.Démontrer que la composée de deux applications deFest une application de ′ ′ F; calculercetdlorsquefc,d=fa,b◦fa,b. 2.Pour quelles valeurs deaetb,fa,batelle une réciproque ? Vérifier que celle ci appartient alors àF. 3.nétant un entier strictement positif, calculer les nombresαnetβndéfinis par
f=f◦f αn,βnαn−1,βn−1a,b et la donnée deα0etβ0. ′ 4.Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan, tels que les points O,MetM soient alignés. 5.En général,fa,btransforme une droite en une droite. Dans quels cas sontelles parallèles ?
Partie C
On posegb=f1,b. ¡ ¢ Le pointM0de coordonnéesx0, ;y0a pour image pargb,M1=gb(M0) et on pose plus généralementMn=gb(Mn−1) pournentier strictement positif.
1. a.Montrer que pour|b| <1, les coordonnées (x;y) deMnont des limites finies, les calculer. b.On suppose toujours|b| <1. On désigne par A le point de coordonnées µ ¶ 1 1 ; ,et on considère le pointPnde coordonnées (Xn;Yn) défini par 2 2 −→−−−−−−→−→−−→− APn=AM1+AM2+ ∙ ∙ ∙ +AMn Comment fautil choisir le pointM0pour queXnetYnaient des limites finies ? Quelles sont ces limites ? À quel ensemble appartiennent, alors, les pointsM1,M1,∙ ∙ ∙,Mn? 2.Dans cette question on considèreb=3. ³ ´ −→−→ a.O,Déterminer, par une équation dans le repèreı,la transformée ′ (C) du cercle (C) de centre O et de rayon 1 par l’applicationg3. ³ ´ −→−→ b.Soit la courbe (E) dont une équation par rapport au repèreO,ı, est :
Lille
2 2 5x+8x y+5y−9=0 ³ ´ −→−→ On considère le repèreO,I,Jdéfini de la façon suivante :
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Baccalauréat C
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A. P. M. E. P.
•rest une rotation vectorielle dePdont une détermination de l’angle estα(06α<2π) ³ ´³ ´ −→−→−→−→ •I=r ıetJ=r π Déterminerα(06α<) pour que l’équation de (E) dans le nouveau 2 repère soit de la forme :
2 2 A X+B Y+C=0 En déduire la nature de (E) et en donner les éléments caractéristiques.
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