Baccalauréat STI Génie électronique
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ Antilles-Guyane juin 2006 EXERCICE 1 4 points Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 3 cm, on considère les points A et B d'affixes respectives zA = p3+ i et zB = 1? i p3 ; i est le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . 1. a. Écrire zA et zB sous forme trigonométrique, puis sous forme exponen- tielle. b. En utilisant la règle et le compas, placer les points A et B dans le repère ( O, ??u , ??v ) . On laissera apparents les traits de construction. c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O. 2. Dans ce qui suit, on considère la rotation de centre O et d'angle pi2 . On appelle C l'image du point A par cette rotation. a. Placer le point C dans le repère ( O, ??u , ??v ) . On laissera apparents les traits de construction. b. Déterminer l'affixe zC du point C sous forme exponentielle. c. Quelle est l'image du point B par la rotation ? Justifier. d. En déduire l'image du triangle OAB par la rotation. EXERCICE 2 5 points Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistance R (exprimée en ohms), un condensateur de capacité C (exprimée en fa- rads) et un interrupteur.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ Antilles-Guyane juin 2006 EXERCICE 1 4 points Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 3 cm, on considère les points A et B d'affixes respectives zA = p3+ i et zB = 1? i p3 ; i est le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . 1. a. Écrire zA et zB sous forme trigonométrique, puis sous forme exponen- tielle. b. En utilisant la règle et le compas, placer les points A et B dans le repère ( O, ??u , ??v ) . On laissera apparents les traits de construction. c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O. 2. Dans ce qui suit, on considère la rotation de centre O et d'angle pi2 . On appelle C l'image du point A par cette rotation. a. Placer le point C dans le repère ( O, ??u , ??v ) . On laissera apparents les traits de construction. b. Déterminer l'affixe zC du point C sous forme exponentielle. c. Quelle est l'image du point B par la rotation ? Justifier. d. En déduire l'image du triangle OAB par la rotation. EXERCICE 2 5 points Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistance R (exprimée en ohms), un condensateur de capacité C (exprimée en fa- rads) et un interrupteur.
- génie électrotechnique
- générateur dé- livre
- image du triangle oab par la rotation
- axe des abscisses
- triangle oab
- calcul d'aire
- rotation
- aire en cm2
- repère orthonormal direct
Durée : 4 heures
[Baccalauréat STI Génie électronique\ AntillesGuyane juin 2006
EX E R C IC E1 4points ³ ´ −→−→ Dans le plan muni d’un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique p 3 cm, on considère les points A et B d’affixes respectiveszA=3+i etzB=1−; ii 3 π est le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 1. a.ÉcrirezAetzBsous forme trigonométrique, puis sous forme exponen tielle. b.s le repèreEn utilisant la règle et le compas, placer les points A et B dan ³ ´ −→−→ O,u,v. On laissera apparents les traits de construction. c.Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O. π 2.le .Dans ce qui suit, on considère la rotation de centre O et d’ang 2 On appelle C l’image du point A par cette rotation. ³ ´ −→−→ a.Placer le point C dans le repèreO,u,v. On laissera apparents les traits de construction. b.Déterminer l’affixezCdu point C sous forme exponentielle. c.Quelle est l’image du point B par la rotation ? Justifier. d.En déduire l’image du triangle OAB par la rotation.
EX E R C IC E2 5points Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistanceR(exprimée en ohms), un condensateur de capacitéC(exprimée en fa rads) et un interrupteur. On ferme l’interrupteur à l’instantt=0 et le générateur dé livre alors une tension constanteE(exprimée en volts). On procède ainsi à la charge du condensateur. La chargeqen coulombs du condensateur est une fonction dérivable du tempst (exprimé en secondes) ; l’intensitéidu courant (exprimée en ampères) est alors telle ′ quei(t)=q(t). On considère l’équation différentielle : 1E ′ y+y= RC R dans laquelleyest une fonction de la variable réellet, définie et dérivable surR. −4 Dans tout ce qui suit, on prendR=1 000,C=10 etE=10. 1.Écrire l’équation différentielle cidessus en remplaçantR,CetEpar leurs va leurs respectives. 2.On admet que la fonctionqest définie sur [0 ;+∞[ par
−3−10t−3 q(t)= −10 e+10 . ′ a.Déterminer la fonction dérivéeqde la fonctionq, puis vérifier queqest solution sur [0 ;+∞[ de l’équation différentielle établie à la question 1.
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A. P. M. E. P.
b.Déterminerq(0), la limite deqen+∞et le sens de variations deqsur [0 ;+∞[.
3.On admet que l’intensité du courantiqui parcourt le circuit à l’instanttest −2−10t donnée pari(t)=10 e. Déterminer la valeur exacte de l’instantt0à partir duquel l’intensitéi(t) est −3 inférieure ou égale à 10ampère. Préciser sa valeur arrondie au centième de seconde. 4.On sait enfin que l’énergieWdissipée dans le conducteur ohmique, exprimée en joules, entre les instantst=0 ett=est donnée par :0, 23, Z 0,23 2 W=1 000i(t) dt. 0 a.Préciser une primitive de la fonctionhdéfinie sur [0 ;+∞[ par −20t h(t)=e . −3 b.Calculer alorsWet en donner la valeur arrondie à 10près.
PR O B L È M E11 points On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur dont la courbe représentativeCf ³ ´ −→−→ dans un repère orthonormalO,ı,d’unité 1 cm est donnée en annexe. Cette courbe passe par le point A(1 ;4). Dans la partie I, le but est de déterminer graphiquement certaines propriétés de la fonctionf. On prouve ensuite ces propriétés dans la partie II à partir de l’expression def(x). Enfin, dans la partie III, on s’intéresse à un calcul d’aire.
Partie I On répondra aux questions suivantes en utilisant la représentation graphique don née en annexe. Si cela n’est pas demandé explicitement, on ne justifiera pas la ré ponse. 1. a.On admet que la fonctionf; 1[ et que l’axe desest décroissante sur ]0 ordonnées est asymptote àCf. Donner limf(x). x→0 b.Peuton donnerlimf(x) à partir du graphique ? Pourquoi ? x→+∞ 2. a.Justifier que l’équationf(x)=0 admet, sur l’intervalle [1 ; 15], deux solu tions ; on noteraαetβces solutions, avecα<β. b.Donner un encadrement d’amplitude 0,5 pour chacun des deux nombres αetβ. c.Donner le signe def(x) suivant les valeurs dexdans l’intervalle [1 ; 15]. 3.On admet que la droite passant par les points A(1 ; 4) et B(2 ;−2) est tangente à la courbeCfau point A. ′ a.Donner la valeur def(1). b.Donner, en justifiant, une équation de la droite (AB).
Partie II On admet maintenant que la fonctionfest définie sur ]0 ;+∞[ par
2 f(x)=2(lnx)−6 lnx+4. Le but de cette partie est de démontrer les résultats obtenus à la partie I, en utilisant l’expression def(x). 1. a.Calculer limf(x). Quelle propriété graphique de la courbeCretrouve f x→0 ton ainsi ?
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· ¸ 4 b.Démontrer que pourx6=1 on af(x)=(lnx) 2lnx−6+puis en lnx déduire limf(x). x→+∞ 4 lnx−6 ′ ′ 2. a.Démontrer quef(x)=oufdésigne la dérivée def. x b.Résoudre dans l’intervalle ]0 ;+∞ln[ l’inéquation 4x−6>0. c.En déduire le sens de variations defet dresser le tableau de variations def. On calculera la valeur exacte du minimum defsur ]0 ;+∞[. 3. a.En utilisant les résultats de la question 2 démontrer que l’équation f(x)=0 admet exactement deux solutions sur l’intervalle [1 ; 15]. ¡ ¢¡ ¢ 2 b.Donner les valeurs exactes defe ,f(e) etfe . c.En déduire l’ensemble des solutions de l’équationf(x)=0 sur l’inter valle [1 ; 15]. 4.Déterminer une équation de la tangente T à la courbeCfau point A d’abscisse 1.
Partie III
1.Sur la feuille annexeà rendre avec la copie, hachurer le domaine D délimité par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=1 etx=2. 2.Démontrer que la fonctionFdéfinie sur ]0 ;+∞[ par
2 F(x)=2x(lnx)−10xlnx+14x
est une primitive defsur ]0 ;+∞[. 3. a.En déduire l’expression de l’aire, en unités d’aire, du domaine D sous la forme d’une intégrale. 2 2 b., ar, puis sa valeur en mmDonner la valeur exacte de cette aire en cm rondie à l’unité.
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Feuille annexe à rendre avec la copie
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7 6 6 5 5 4 4 A 3 3 2 2 1 1 −→ 0 −→ -1O0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 −1ı10 11 12 13 141 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 −1 -2 −2 B -3 −3
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