Baccalauréat STI mars 2006
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI mars 2006 \ Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil Nouvelle-Calédonie Un formulaire demathématiques est distribué enmême temps que le sujet.Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats. EXERCICE 1 5 points On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) , unité gra- phique : 3 cm. 1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation ( iz+1+ i p 3 ) ( z2?2z+4 ) = 0, et donner les solutions sous la forme algébrique. 2. On considère les nombres complexes a = 1+ i p 3 et b =? p 3+ i et on appelle A et B les points d'affixes respectives a et b. a. Déterminer la forme trigonométrique de a et b. b. Construire les points A et B dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) . c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle. d. Soit K le milieu du segment [AB]. Placer K et déterminer son affixe k. 3. On considère le complexe c = (1? p 3)+ i(1+ p 3), et on appelle C le point du plan d'affixe c.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI mars 2006 \ Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil Nouvelle-Calédonie Un formulaire demathématiques est distribué enmême temps que le sujet.Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats. EXERCICE 1 5 points On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) , unité gra- phique : 3 cm. 1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation ( iz+1+ i p 3 ) ( z2?2z+4 ) = 0, et donner les solutions sous la forme algébrique. 2. On considère les nombres complexes a = 1+ i p 3 et b =? p 3+ i et on appelle A et B les points d'affixes respectives a et b. a. Déterminer la forme trigonométrique de a et b. b. Construire les points A et B dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) . c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle. d. Soit K le milieu du segment [AB]. Placer K et déterminer son affixe k. 3. On considère le complexe c = (1? p 3)+ i(1+ p 3), et on appelle C le point du plan d'affixe c.
- points d'affixes respectives
- génie mécanique
- feuille de papier millimétré
- repère orthonormal direct
Durée : 4 heures
[Baccalauréat STI mars 2006\ Génie mécanique Génie énergétique Génie civil NouvelleCalédonie
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.
EX E R C IC Epoints1 5 π On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v, unité gra phique : 3 cm. 1.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation ³ ´ ¡ ¢ 2 iz+1+i 3z−2z+4=0,
et donner les solutions sous la forme algébrique. 2.On considère les nombres complexes
a=1+i 3 etb= −3+i et on appelle A et B les points d’affixes respectivesaetb. a.Déterminer la forme trigonométrique deaetb. ³ ´ −→−→ b.O,Construire les points A et B dans le repèreu,v. c.Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle. d.Soit K le milieu du segment [AB]. Placer K et déterminer son affixek. 3.On considère le complexe c=(1−3)+i(1+3), et on appelle C le point du plan d’affixec. a.Montrer que K est le milieu du segment [OC] puis placer C. b.Démontrer que le quadrilatère OACB est un carré.
EX E R C IC E2 4points Un client d’un supermarché reçoit lors de son passage en caisse un ticket d’un jeu du grattage. Ce ticket comporte trois cases à gratter. Pour la première case deux ré sultats sont possibles 1 ou 2, pour la deuxième et la troisième case trois résultats sont possibles 1, 2 ou 3. Le client gratte les trois cases de son ticket. 1.Préciser le nombre de résultats possibles. 2.On considère les évènements suivants : •A : «Avoir 3 chiffres identiques » •Avoir au moins une fois un 2 ».B : « a.Déterminer la probabilité de A notéep(A) et celle de B notéep(B). 5 b.Déterminerp(A∩B), puis démontrer quep(A∪B)=. 6 3.Le client reçoit 5elorsqu’il obtient trois chiffres identiques, 2elorsqu’il ob tient exactement 2 chiffres identiques et 0edans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire qui prend comme valeurs les gains précédents.
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a.Déterminer la loi de probabilité de X. b.Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
PR O B L È M E11 points On appellefla fonction définie pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ par 2 lnx−1 f(x)=x−1+ x On appelleCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormal ³ ´ −→−→ O,ı,, unité graphique 2 cm. Partie A étude d’une fonction auxiliaire On appellegla fonction définie pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ par 2 g(x)=x−2 lnx+3. 1.Étudier les variations degsur l’intervalle ]0 ;+∞[. 2.Calculerg(1) et en déduire le signe deg(x) pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[. Partie B étude de la fonctionf
1.Déterminer les limites defen 0 et en+∞. 2.Étude d’une asymptote a.Démontrer queCadmet pour asymptote la droiteDd’équationy=x−1. b.Déterminer les coordonnées du point d’intersection deCetD. c.Étudier les positions relatives deCet deD. 3.Étude des variations def a.Montrer que pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[,
g(x) ′ f(x)=. 2 x b.En déduire le sens de variations defsur l’intervalle ]0 ;+∞[. c.Dresser le tableau de variations def. ³ ´ −→−→ 4.ConstruireDetCO,dans le repèreı,.
Partie C Calcul d’aire
1.Soithla fonction définie pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle par :
2 h(x)=lnx. x Démontrer que la fonctionHdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
2 H(x)=(lnx) ,
est une primitive dehsur cet intervalle.
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2.En déduire une primitiveΦde la fonctionϕdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
2 lnx−1 ϕ(x)=. x 3.Soit la partieAdu plan délimitée par la courbeC, la droiteDet les droites d’équations x=e etx=e. a.Hachurer la partieA. 2 b., de l’aire de la partieDéterminer la valeur exacte en cmA.
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