Baccalauréat STI Métropole juin Génie électronique électrotechnique optique
5
pages
Français
Documents
2003
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
5
pages
Français
Documents
2003
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Métropole juin 2003\ Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 4 points 1. a. Dans l'ensemble des nombres complexes C, résoudre l'équation d'in- connue z z2?8z+32= 0. b. écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle. 2. Soit le nombre complexe 4ei π 3 . Donner sa forme algébrique. 3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 1 cm, on donne les points A, B et C d'affixes respectives : zA = 4+4i zB = 4?4i zC = 2+2i p 3. a. Placer les points A, B et C dans le repère ( O, ??u , ??v ) . b. Montrer que le triangle ABC est rectangle. EXERCICE 2 5 points On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la ca- pacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l'inductance, exprimée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur. Le temps t est exprimé en secondes. À l'instant t = 0, on suppose le condensateur chargé, on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On appelle q(t) la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur à l'instant t .
Voir
[ Baccalauréat STI Métropole juin 2003\ Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 4 points 1. a. Dans l'ensemble des nombres complexes C, résoudre l'équation d'in- connue z z2?8z+32= 0. b. écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle. 2. Soit le nombre complexe 4ei π 3 . Donner sa forme algébrique. 3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 1 cm, on donne les points A, B et C d'affixes respectives : zA = 4+4i zB = 4?4i zC = 2+2i p 3. a. Placer les points A, B et C dans le repère ( O, ??u , ??v ) . b. Montrer que le triangle ABC est rectangle. EXERCICE 2 5 points On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la ca- pacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l'inductance, exprimée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur. Le temps t est exprimé en secondes. À l'instant t = 0, on suppose le condensateur chargé, on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On appelle q(t) la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur à l'instant t .
- circuit électrique
- repère orthogonal
- représentation gra- phique
- intensité efficace dans le circuit
- solution de l'équation différentielle
- cm sur l'axe des ordonnées
[Baccalauréat STI Métropole juin 2003\ Génie électronique, électrotechnique, optique
EX E R C IC E1 4points 1. a.Dans l’ensemble des nombres complexesC, résoudre l’équation d’in connuez
2 z−8z+32=0. b.écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle. π i 2.. Donner sa forme algébrique.Soit le nombre complexe 4e 3 ¡ ¢ −→−→ 3.Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormalO,u,vd’unité graphique 1 cm, on donne les points A, B et C d’affixes respectives :
zA=4+4izB=4−4izC=2+2i 3. ¡ ¢ −→−→ a.O,Placer les points A, B et C dans le repèreu,v. b.Montrer que le triangle ABC est rectangle.
EX E R C IC E2 5points On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la ca pacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l’inductance, exprimée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur. Le tempstest exprimé en secondes. À l’instantt=0, on suppose le condensateur chargé, on ferme l’interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On appelleq(t) la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur à l’instantt. On définit ainsi une fonctionq, deux fois dérivable sur l’intervalle [0 ;+∞[, dont la ′ dérivée première est notéeq. On admet que la fonctionqest solution de l’équation différentielle 1 ′′ (E) :y+y=0 LC ′′ oùyest définie et deux fois dérivable sur [0 ;+∞[ et de dérivée secondey. −3−2 Dans tout l’exercice on prend C = 1, 25×10 et5L = 0,×10 . 1. a.Montrer queqest alors solution de l’équation différentielle
′′5 (E) :y+1, 6×10y=0. b.Résoudre l’équation différentielle (E). c.Déterminer la solution particulièreqde (E) vérifiant :
−3′ q(0)=6×10 etq(0)=0. 2.On sait que la valeuri(t) de l’intensité, exprimée en ampères, du courant qui ′ parcourt le circuit à l’instanttvérifiei(t)= −q(t) . On définit ainsi une fonc tionisur l’intervalle [0 ;+∞[. a.Vérifier que, pour touttappartenant à l’intervalle [0 ;+∞[
i(t)=2, 4 sin(400t).
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
A. P. M. E. P.
Z π 400 400 b.Calculer :cos(800t) dt. π0 c.On désigne par Iela valeur, exprimée en ampères, de l’intensité efficace dans le circuit. Son carré est donné par la formule : Zπ 400 400 2 2 I=i(t) dt. e π0 1 2 2 Calculer I(on pourra utiliser la formule sina=(1−cos 2a), puis don e 2 −3 ner une valeur approchée de Ieprès, sachant que Ià 10eest un nombre positif.
PR O B L È M E
11 points
Partie A ¡ ¢ −→−→ On donne, dans le plan muni d’un repère orthogonalO,ı,, d’unités graphiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées, lareprésentation gra phique (C) d’une fonctiongdéfinie, dérivable et strictement croissante sur l’inter valle ]1 ;+∞[ ainsi que deux droites (T ) et (D). La droite (T) passe par les points de coordonnées respectives (2 ; 0) et (0 ;−3). La droite (D) a pour équationy=1. 3 (T) 2
1 −→ −→ ı 0 0 1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
2
(D)
(C) 3 4
1. a.Déterminer graphiquementg(2). b.Sachant que la droite (T) est tangente à la courbe (C) au point d’abscisse ′ 2, déterminer graphiquementg(2). c.On admet que la droite (D) est asymptote à la courbe (C). Déterminer graphiquement la limite deg(x) quandxtend vers+∞. d.Sachant que la courbe (C) coupe l’axe des abscisses en un seul point, étudier graphiquement le signe de la fonctiongsur l’intervalle ]1 ;+∞[.
Métropole
2
juin 2003
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
2.On définit les fonctionsg1,g2etg3sur l’intervalle ]1 ;+∞[ par :
A. P. M. E. P.
1 2 g1(x)=1−;g2(x)=1−;g3(x)=ln(x−1). 2 x−1x−x L’une d’elles est la fonctiongque l’on se propose d’identifier en utilisant les résultats de la première question.
a.Calculerg1(2),g2(2) etg3(2). Ces résultats permettentils d’éliminer une des trois fonctions ? b.Calculer limg1(xlim) ;g2(x) etlimg3(x). x→+∞x→+∞x→+∞ Quelle fonction peuton alors éliminer ? ′ ′ c.On notegetgles fonctions dérivées respectives deg1etg2. 1 2 ′ ′ Calculerg(2) etg(2) puis conclure. 1 2
Partie B Soitfla fonction définie sur l’intervalle ]1 ;+∞[ par
f(x)=x+1+2 lnx−2 ln(x−1). On note (Cf) la courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d’un repère ¡ ¢ −→−→ orthogonal O,ı,d’unités graphiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. 1. a.Quelle propriété de la fonction logarithme népérien permet de prouver que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]1 ;+∞[, ³ ´ x f(x)=x+1+2 ln? x−1 b.Déterminer la limite defen 1. Que peuton en déduire pour la courbe (Cf) ? 2. a.Déterminer la limite defen+∞. b.Justifier que la droite (D) d’équationy=x+1 est asymptote oblique À la courbe (Cf). x c.Montrer que pour toutxde l’intervalle ]1 ;+∞[,>1. x−1 ³ ´ x Quel est alors le signe de lnpourxappartenant à ]1 ;+∞[ ? x−1 d.En déduire la position de la courbe (Cf) par rapport à la droite (D). ′ 3. a.Déterminer la fonction dérivéefde la fonctionfet vérifier que, pour ′ toutxappartenant à l’intervalle ]1 ;+∞[,f(x)=g(x) oùgest la fonc tion trouvée dans lapartie A. b.À l’aide des résultats graphiques obtenus dans lapartie A, dresser le ta bleau de variations de la fonctionf.
Partie C
1.Montrer que, sur l’intervalle ]1 ;+∞[, la fonctionHdéfinie par
H(x)=xlnx−(x−1) ln(x−1)
est une primitive de la fonctionhdéfinie parh(x)=lnx−ln(x−1) sur cet intervalle.
Métropole
3
juin 2003
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
A. P. M. E. P.
2. a.ésenté laSur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a repr courbe (Cf). Sur cette figure, représenter la droite (D) et hachurer la partie du plan comprise entre la droite (D), la courbe (Cf) et les droites d’équationsx=2 etx=3. b.On désigne parAla valeur de l’aire, exprimée en unités d’aire, de la par tie du plan hachurée précédemment. Donner la valeur exacte deApuis −2 une valeur décimale approchée À 10près par excès.
Métropole
4
juin 2003
9
8
7
6
5
4
3
2
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
1 −→ −→ ı 0 O0 -1
Métropole
1
Annexe : représentation de la courbe (Cf) À rendre avec la copie
2
5
3
4
A. P. M. E. P.
juin 2003
5
