Correction Bac STI2D : mathématiques

Bac STI2D 2015 : éléments de correction de l’épreuve de mathématiques
Exercice n°1 :


1. La forme algébrique du nombre complexe = 3 est :

= 3(cos( ) + isin( ))


= 3(cos( ) - isin( )) car la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.

= 3×( - i)


= - i.

La réponse exacte est la b..

2. = 1 + i et = - i.
Pour déterminer la forme exponentielle de , on peut soit calculer le produit sous la
forme algébrique puis la mettre sous la forme exponentielle, soit mettre et sous la forme
exponentielle et calculer le produit des deux formes exponentielles.
Avec la première méthode :
= (1 + i )( - i) = - i + 3i + = 2 + 2i.

 = = = = 4.

 On a donc = 2 + 2i = 4( + i) = 4(cos( ) + isin( )) = 4 .
La réponse exacte est la a..

3. Les solutions de l’équation différentielle du second ordre y’’ + y = 0 sont de la forme :
t Acos( t) + Bsin( t) avec A et B deux réels.
Ici, = donc on peut prendre = = .


Les solutions de l’équation différentielle y’’ + y = 0 sont donc de la forme :


t Acos( t) + Bsin( t) avec A et B deux réels.

La réponse exacte est la b..


4. = 2 + sur l’intervalle ]-1 ; [.


= 0 donc, d’après les règles opératoires sur les limites, on a :

= = 2.
La réponse exacte est la d..

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Exercice n°2 :
Partie A
Ici, L = 100 km et a = 0,046. On a aussi = 7 mW.
Il s’agit de calculer = avec ces valeurs et de comparer le résultat avec 0,08 mW :
= = 7× = 7 0,070 mW au millième près.
< 0,08 mW donc il sera nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que
le signal soit détectable en sortie.

Partie B
1. Les solutions de l’équation différentielle y’ + ay = 0 avec a un réel sont de la forme y(x) =
pour tout x réel et un nombre réel.
Les solutions de l’équation différentielle y’ + 0,035y = 0 sont donc de la forme :
g(x) = pour tout x réel et un nombre réel.

2. a. g(0) = 7 donc g(0) = = = = 7.
g est donc définie par g(x) = 7 sur l’intervalle [0 ; [.

2. b. D’après l’expression de g, le coefficient d’atténuation est 0,035 pour cette fibre.

3. a. La fonction g est dérivable sur [0 ; [.
On a la formule pour une fonction u dérivable, donc :
g’(x) = 7×(-0,035) = -0,245 pour tout [0 ; [.
L’exponentielle est toujours positive donc g’(x) = -0,245 < 0 pour tout [0 ; [.
La fonction g est donc strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; [.

3. b. = donc = = 0 en posant X = -0,035x et
d’après la formule de la limite de la composée de fonctions.
On a ensuite = 0.

4. a. Il s’agit de calculer et de comparer le résultat avec 0,08 mW :
g(100) = 7 = 7 0,21 mW au centième près.
g(100) > 0,08 mW donc le signal sera encore détecté au bout de 100 km de propagation avec ce
type de fibre.

4. b. Pour que la longueur L de la fibre permette une détection du signal à la sortie sans
amplification, il faut que g(L) 0,08 mW.
g(L) 0,08 7 0,08
g(L) 0,08 =


g(L) 0,08 -0,035L ln ( ) car les fonctions ln et exponentielle sont strictement croissantes

sur leur intervalle de définition

g(L) 0,08 L ln ( ) 127,76 km au centième près

La longueur de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification est :
L 127,76 km au centième près.
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Exercice n°3 :
Partie A
1. Selon les prévisions de l’ADEME (Doc. 1), le nombre de véhicules hybrides vendus en 2030 serait

de 24 % des 2 millions de véhicules vendus, soit ×2 000 000 = 24×20 000 = 480 000 véhicules.


2. Selon les prévisions de l’ADEME (Doc 1), en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission
de CO dans le parc automobile serait de 11 % (7 % de véhicules hybrides et 4 % de véhicules 2
électriques).

Partie B
1. Le pourcentage d’augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013 est :

100× 49,1 % au dixième près.


2. a. = 41 340 (nombre de véhicules hybrides vendus durant l’année 2013)

2. b. ( ) est une géométrique de raison q = 1,16 et de premier = 41 340 donc le terme général de
n cette suite est : = = 41 340×1,16 pour tout entier naturel n.

2. c. L’année 2030 correspond à n = 17.
17 = 41 340×1,16 515 414 à l’unité près.
> 480 000 donc l’augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules hybrides permettrait
d’atteindre la prévision de l’ADEME pour l’année 2030.

3. a. La formule saisie dans la cellule B3 est : « = 1,16*B2 ».

3. b. Selon les prévisions de l’ADEME (Doc. 1), le nombre de véhicules électriques vendus en 2030

serait de 12 % des 2 millions de véhicules vendus, soit ×2 000 000 = 12×20 000 = 240 000

véhicules.
173 974 < 240 000 donc le taux d’augmentation annuel de 16 % ne permettrait pas d’atteindre les
prévisions de l’ADEME des ventes de véhicules électriques en 2030.

4. a. 173 974 est le nombre de véhicules électriques vendus en 2030 d’après les prévisions de
l’ADEME, si le taux d’augmentation annuel est de 16 %.
4. b.
Variables
Etapes de l’algorithme
q u
Initialisation 1,16 173 974
Etape 1 1,17 201 307
Etape 2 1,18 232 645
Etape 3 1,19 268 533

4. c. La valeur affichée par le résultat est (1,19 - 1)×100 = 0,19×100 = 19 %.
Le pourcentage d’augmentation annuelle des ventes de véhicules électriques qui permettrait
d’atteindre les prévisions de l’ADEME en 2030 est de 19 %. Bac STI2D 2015 : éléments de correction de l’épreuve de mathématiques
Exercice n°4 :
1. a. = 1,5 donc la fonction de densité de cette loi normale est la figure 3 car elle est symétrique
par rapport à la droite d’équation x = = 1,5.

-41. b. En utilisant la calculatrice : P(1,485 X 1,515) 0,6827 à 10 près.
N.B. : P(1,485 X 1,515) = P(1,5 - 0,015 X 1,5 + 0,015) = P( - X + ) 0,68 à
-210 près d’après le cours.

2. a. La probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits est nulle,
d’après la définition d’une loi normale.

-42. b. En utilisant la calculatrice, P(1,46 X 1,54) 0,9923 à 10 près.

2. c. Il s’agit de calculer P(X 1,55) = P(X 1,5) - P(1,5 X 1,55) = 0,5 - P(1,5 X 1,55)
-4 0,5 - 0,4996 0,004 à 10 près, en utilisant la calculatrice.

3. a. On a p = 0,0077 et n = 10 000. On vérifie que :
n = 10 000 30, np = 10 000×0,0077 = 77 5 et n(1 - p) = 10 000×0,9923 = 9 923 5.

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée de bouteilles
nonconformes est :

I =

I =

I [0,0059 ; 0,0095]
-4en arrondissant les bornes de l’intervalle à 10 près (par défaut pour la borne inférieure et par excès
pour la borne supérieure)


3. b. = 0,009 et cette valeur appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % I trouvé au

3. a.., donc l’usine OCEFRAIS n’a pas de raison de s’inquiéter.