Corrigé du bac ES 2008: Mathématique Spécialité

[BaccalauréatESFranceMétropolitaine19juin2008\
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.Pourchacunedesquestions,troisréponsessontproposées.Uneseule
decesréponsesestexacte.
5
Onconsidèreunefonction f définieetdérivablesurl’intervalle[−5; ].
2
Leplanestmunid’unrepèreorthonormal.¡ ¢
– Lacourbe C représentéeci-dessousestcelledelafonction f.f
– Lespoints A(0;2),B(1;e)etC(2;0)appartiennentàlacourbeC .f¡ ¢
– Lepointdelacourbe C d’abscisse−5auneordonnéestrictementpositive.f ¡ ¢
passeparlepointD −2;0 .– Latangente(T)enAàlacourbe C ( )f¡ ¢
– LatangenteenB àlacourbe C estparallèleàl’axedesabscisses.f
3
2
1
Cf
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Indiquersurlacopielenumérodelaquestionetlalettrecorrespondantàlaréponsechoisie.
PartieA:aucunejustificationn’estdemandée.
Uneréponseexacterapport0,5point.
Uneréponsefausseenlève0,25point.
L’absencederéponsenerapportenin’enlèveaucunpoint.
SiletotaldespointsdelapartieAestnégatif,lanoteattribuéeàcettepartieestramenéeàzéro.
′1°)Onnote f (0)lenombredérivédelafonction f en0.Quelleestsavaleur?
′ ′ ′(a) f (0)=1 (b) f (0)=2 (c) f (0)=0¡ ¢ y −yA D ′Lapentedelatangente en Aà est(parlecturegraphiqueoùenutilisant )1.C’estdonc(a): f 0 =1.(T) C ( )f
x −xA D¡ ¢
Onnotelnlafonctionlogarithmenépérienetg lafonctioncomposéeln f .
2°)Quelestl’ensemblededéfinitiondelafonctiong,notéD ?g
5
(a)]0; [ (b)[−5;2] (c)[−5;2[
2
g(x)estdéfiniepourtoutx telque f (x)>0,doncsur[−5;2[(réponse(c))
3°)Quelleestlavaleurdeg(0)?
(a)g(0)=2 (b)g(0)=0 (c)g(0)=ln(2).¡ ¢
g 0 =ln f 0 =ln 2 :réponse(c).( ) ( ) ( )
′ ′4°)Onnoteg lafonctiondérivéedelafonctiong.Quelleestlavaleurdeg 1 ?( )
1′ ′ ′
(a)g (1)=e (b)g (1)=0; (c)g (1)=− .
2e
′f (1)
′ ′g (1)= =0car f (1)=0(tangenteparallèleàl’axedesabscissesenB).Doncréponse(b).
f (1)BaccalauréatES
5°)Quelleestlalimitedeg(x)quandx tendvers2?
(a) limg(x)=−∞ (b) limg(x)=0 (c) limg(x)=+∞.
x→2 x→2 x→2
+Pourx<2, limf (x)=0 et lim ln(X)=−∞donc limg(x)=−∞(réponse(a)).
+x→2 X→0 x→2
PartieB:Chaqueréponsedoitêtrejustifiée.
Danscettepartie,toutetracederecherchemêmeincomplète oud’initiativemêmenonfructueuseserapriseencompte
dansl’évaluation. ˆ 2
1°)AquelintervalleappartientleréelI= f (x)dx?
0
(a)[0;3] (b)[3;6] (c)[6;9].¡ ¢
Premièreméthode:I estl’airedelapartieduplanentrelacourbe C ,lesaxesetladroited’équationx=2.Encomptantf
lescarreaux,onentrouveentre12et21avec4carreauxparunitéd’airedonc3<I<6(réponse(b)).
Deuxième méthode : en supposant avoir répondu correctement à la question 3, I =F(2)−F(0)≃ 5 (avec F(0)= 3 et
F(2)≃7.8parlecturegraphiquesur(C )).1
′2°)Parmilestroiscourbesjointesenannexes,l’uneestlareprésentationgraphiquedelafonctiondérivée f delafonction
f.Laquelle?
(a)Lacourbe(C ) (b)Lacourbe(C ) (c)Lacourbe(C ).1 2 3
′La fonction f est croissantesur [−5;1] etdécroissante sur [1;2,5]. La fonction f doitdonc êtrepositive sur [-5;1[, nulle
en1etnégativesur]1;2,5]:C’estlafonctionreprésentéepar(C )(réponse(c)).3
3°)Parmilestroiscourbesjointesenannexe,l’une estlareprésentation graphiqued’uneprimitiveF delafonction f,F
5
étantdéfiniesurl’intervalle[−5; ].Laquelle?
2
(a)Lacourbe(C ). (b)Lacourbe(C ) (c)Lacourbe(C ).1 2 3
La fonction f est positive sur [−5;2[, nulle en 2 et négative sur ]2;2,5]. La fonction F est donc croissante sur [−5;2] et
décroissantesur[2;2,5]:c’estlafonctionreprésentéeparlacourbe(C )(réponse(a)).1
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Leparcinformatiqued’unlycéeestcomposéde200ordinateursdont:
– 30sontconsidéréscommeneufs;
– 90sontconsidéréscommerécents;
– lesautressontconsidéréscommeanciens.
Uneétudestatistiqueindiqueque:
– 5%desordinateursneufssontdéfaillants;
– 10%desordinateursrécentssontdéfaillants;
– 20%desordinateursancienssontdéfaillants.
Onchoisitauhasardunordinateurdeceparc.
Onnotelesévènementssuivants:
N :«L’ordinateurestneuf»;
R :«L’ordinateurestrécent»;
A :«L’ordinateurestancien»;
D :«L’ordinateurestdéfaillant»;
D :«L’événementcontrairedeD.
1°)Construireunarbrepondérédécrivantlasituation.
0,05 D
N
D0,95
0,15
0,1 DR30 90
=0,15; =0,45et1−(0,15+0,45)=0,4d’où: 0,45
200 200
D0,9
0,4
0,2 DA
D0,8
2°)Calculerlaprobabilitéquel’ordinateurchoisisoitneufetdéfaillant.
OnchercheP N∩D =P N ×P D =0,15×0,05=0,0075.( ) ( ) ( )N
3°)Démontrerquelaprobabilitéquel’ordinateurchoisisoitdéfaillantestégaleà0,1325.
D’aprèslaformuledesprobabilitéstotales,P D =P D∩A +P D∩R +P D∩N .D’aprèsl’arbre,P D∩A =0,4×0,2=( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,08etP D∩R =0,45×0,1=0,045donc,d’après1°),P D =0,0075+0,045+0,08=0,1325.( ) ( )
Francemétropolitaine 2 19juin2008
bbbbbbbbbbBaccalauréatES
4°)Déterminerlaprobabilitéquel’ordinateurchoisisoitanciensachantqu’ilestdéfaillant.Donnerlerésultatsousforme
décimalearrondieaucentième.
P(A∩D) 0,08
OnchercheP (A)= = ≃0,60.D
P(D) 0,1325
5°)Pouréquiperlecentrederessourcesdel’établissement,onchoisitauhasard3ordinateursdansleparc.Onadmetque
leparcestsuffisammentimportantpourqu’onpuisseassimilerceschoixàdestiragessuccessifsindépendantsavecremise.
Déterminer la probabilité qu’exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme déci-
malearrondieaucentième.
On effectue une répétition de trois epreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès («dé-
faillant»)0,1325(d’après3°):L’expériencesuitdonclaloibinomialedeparamètre3et0,1325.
2Laprobabilitéd’obtenirexactementunsuccèsest3×0,1325×(1−0,1325) ≃0,30.
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Deux fabricantsdeparfum lancent simultanément leur nouveau produitqu’ils nomment respectivement AuroreetBo-
réale.
Afindepromouvoircelui-ci,chacunorganiseunecampagnedepublicité.
L’und’euxcontrôlel’efficacitédesacampagnepardessondageshebdomadaires:Chaquesemaine,ilinterrogelesmêmes
personnesquitoutesseprononcentenfaveurdel’undecesdeuxproduits.
Audébutdelacampagne,20%despersonnesinterrogéespréfèrentAuroreetlesautrespréfèrentBoréale.
Les arguments publicitaires font évoluer cette répartition : 10% des personnes préférant Aurore et 15% des personnes
préférantBoréalechangnetd’avisd’unesemainesurl’autre.
Lasemainedudébutdelacampagneestnotéesemaine0.
Pourtoutentiernatureln,l’étatprobabilistedelasemainen estdéfiniparlamatriceligneP = a b ,oùa désigne( )n n n n
la probabilité qu’une personne interrogée au hasard préfère Aurore la semaine n et b la probabilité que cette personnen
préfèreBoréalelasemainen.
1°)DéterminerlamatriceligneP del’étatprobabilisteinitial.0
a =0,2doncb =1−0,2=0,8etP =(0,2 0,8).0 0 0
2°)ReprésenterlasituationparungrapheprobabilistedesommetAetB,ApourAuroreetBpourBoréale.
0,1
0,85
A B0,9
0,15
3°)(a)EcrirelamatricedetransitionM decegrapheenrespectantl’ordrealphabétiquedessommets.µ ¶
0,9 0,1
M= .
0,15 0,85
3°)(b)MontrerquelamatriceligneP estégaleà(0,3 0,7).1
P =P M donca =0,9a +0,15b =0,3etb =0,1a +0,85b =0,7.1 0 1 0 0 1 0 0
4°)(a)Exprimer,pourtoutentiernatureln,P enfonctiondeP etn.n 0
nP =P M .n 0
4°)(b)EndéduirelamatriceligneP .Interprétercerésultat.3
3P =P M =(0,43125 0.56875)3 0
Danslaquestionsuivante,toutetracederecherchemêmeincomplèteoud’initiativemêmenonfructueuseserapriseen
comptedansl’évaluation.
5°)SoitP=(a b)lamatricelignedel’étatprobabilistestable.
(a)Déterminera etb. (µ ¶
a= 0,9a+0,15b0.9 0.1
a etb sontlessolutions de(a b)=(a b) tellesquea+b=1,donc eta+b=1soit
0.15 0.85 b= 0,1a+0,85b( (
0,1a= 0,15b a= 1,5b 1,5 1
d’où etfinalementa= =0,6etb= =0,4.
2,5 2,5a+b= 1 2,5b= 1
(b)LeparfumAurorefinira-t-ilparêtrepréféréauparfumBoréale?Justifier.
Onamontréau(a)qu’aprèsun«certainnombre»desemaines,laprobabiltéqueleparfumAuroresoitpréférésestabi-
lisaità0,6.DonclaparfumAurorefiniraparêtrepréféréauparfumBoréale.
Francemétropolitaine 3 19juin2008BaccalauréatES
EXERCICE 3 9points
Communàtouslescandidats
Onseproposed’étudierl’évoluti