Corrigé du baccalauréat STI Novembre 2010

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTINovembre2010\
Géniemécanique-Génieénergétique-Géniecivil
Nouvelle-Calédonie
EXERCICE 1 4points
1. Résolutiondel’équationP(z)?0
? p ? ? p ? p p
3 2a. P(2)?2 ? 2 3?2 2 ? 4?4 3 ?2?8?8?8 3?8?8?8 3?8?0.
Donc2estunesolutiondel’équationP(z)?0.
b. Ondéveloppe:
? ?
2 3 2 2 3 2(z?2) z ?αz?β ?z ?αz ?βz?2z ?2αz?2β?z ?(α?2)z ?(β?
2α)z?2β.
EnidentifiantàP(z)„onobtient:
p p8 8
α?2 ? 2 3?2 α ? 2 3< <p p
β?2α ? 4?4 3 () β?2α ? 4?4 3 etlesvaleurstrou-
: :
?2β ? ?8 β ? 4
vées pourα etβ vérifient la deuxième équation. DoncP(z) se factorise
en:
? ?p
2P(z)?(z?2) z ?2z 3?4 .
?
? p ? z?2 ? 02 pc. P(z)?0 () (z?2) z ?2z 3?4 ?0 () .2z ?2z 3?4 ? 0
Lapremièreéquationapoursolution2(déjàvu).
? p ?2
Ladeuxièmeestuneéquationduseconddegré:Δ? 2 3 ?4?1?4?
212?16??4?(2i) ?0.
L’équationadoncdeuxsolutionscomplexesconjuguées:
p
p p?2 3?2i
z ? ?? 3?ietz ?? 3?i.1 2
2
2. a. jaj?2.
2 2Onajbj ?3?1?4?2 )jbj?2.? !p
3 1
Doncb?2 ? ?i .
2 2
p
3 1 5π5π 5πOrcos ?? etsin ? :unargumentdeb estdonc .6 62 2 6
5π
Commec?b,onajcj?2etunargumentdec est? .
6
b. jaj?jbj?jcj () OA=OB=OC,doncA,BetCappartiennentaucercle
C decentreOetderayon2.
c. Voirlafigureàlafin.
? ?d. Parexemple:lesanglesABCetACBdutriangleABCsontdesanglesins-
5π
crits : ils valent la moitié de l’angle au centre soit ; ils valent donc
6
5π
chacun ,cequimontrequeletriangleABCestuntriangleisocèleen
12
A.
? ??! ?! 5π 2π π
e. On a OB, OC ? 2π?2? ? ? , donc l’angle inscrit valant la
6 6 3? ? 1 π π?! ?!
moitiédecetangleaucentre AB, AC ? ? ? .
2 3 6BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
B
1
5π
6
A
O
5π?2 ?1 1
6
?1
C
?2
EXERCICE 2 5points
PartieA:Premièreméthode
1. a. Auboutd’unsièclelamasserestanteestégaleà:
? ?1,2
10? 1? ?10?0,988?9,88(g).100
b. Auboutdedeuxsiècleslamasserestanteestégaleà:
9,88?0,988?9,76144(g).
2. a. D’unsiècleàl’autreilyaunediminutionde1,2%,soitunproduitparle
facteur0,988 :M ?0,988M ;cetterelationmontrequelasuite M( )n?1 n n
estunesuitegéométriquederaison0,988depremiertermeM ?10.0
nb. Onadoncpourtoutn2N M ?10?0,988 .n
3. Ilfautrésoudrel’inéquationdansN:
1n n10?0,988 ?5 () 0,988 ? () (parcroissancedelafonctionlogarithme
2
1népérien) nln0,988?ln () nln0,988??ln2 () (car ln0,988?0) n?
2
?ln2
.
ln0,988
?ln2
Or ?57,4.
ln0,988
Il faudra donc 58 siècles pour que la masse de carbone 14 contenue dans
l’échantillonsoitinférieureà5g.
PartieB:Secondeméthode
1. Onsaitquelessolutions del’équation différentielle(E)sontlesfonctionsdé-
?2?1,21?10 tfiniessurRparm(t)?Ke ,K2R.
2. Onam(0)?10 () K ?10,donclasolutionparticulièreestlafonction défi-
?2?1,21?10 tniesurRpar:t7?!m(t)?10e .
3. IlfautrésoudredansN,l’inéquation:
?2 ?2?1,21?10 t ?1,21?10 t 1 ?2m(t)? 5 () 10e ? 5 () e ? () ?1,21?10 t ?2
ln2?ln2 () t? .?21,21?10
ln2Or ?57,3.?21,21?10
Il faudra donc 58 siècles pour que la masse de carbone 14 contenue dans
l’échantillonsoitinférieureà5g.(Onobtientàpeuprèslemêmerésultat.)
Nouvelle-Calédonie 2 novembre2010
bbbBaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
PROBLÈME 11points
PartieA:Étuded’unefonctionauxiliaire
?x1. Ona lim e ??1et lim (1?x)??1,d’oùparproduitdelimites lim g(x)?
x!?1 x!?1 x!?1
?1.
?x ?xOnag(x)?e ?xe ?2.
?x ?xOr lim e ? 0 et lim xe ? 0, donc par somme de limites, lim g(x)?
x!?1 x!?1 x!?1
?2.
2. a. g estdérivablesurRet:
0 ?x ?x ?x ?xg (x)??e (1?x)?e ??e (2?x)?e (x?2).
?x 0Onsaitquee ?0quelquesoitleréelx,donclesignedeg (x)estcelui
dex?2;donc
0? x?2?0 () x?2;sur]2; ?1[,g (x)?0:lafonctionestcroissante
surcetintervalle;
0? x?2?0 () x?2;sur]?1; 2[,g (x)?0:lafonctionestdécroissante
surcetintervalle.
b. D’oùletableaudevariationsdeg :
x ?1 2 ?1
?1 ?2
g(x)
?2?e ?2
3. Étudedusignedelafonctiong
a. Letableaudevariationsmontrequesur[2;?1[,g(x)??2?0.
Parcontresur]?1; 2[,lafonctionestdécroissantedepluslinfiniàune
valeur inférieure à?2 donc à zéro : elle s’annule donc pour une unique
valeurα2]?1; 2[.
1 0Deplusg(?1)?e (1?1)?2?2e?2?0etg(0)?e (1?0)?2?e?2?0
Commesurl’intervalle]?1; 0[lafonctionestdécroissanteona?1?α?
0.
b. Lacalculatricedonne:?0,4?α??0,3.
c. Letableaudevariationsetl’existencedeαmontreque:
? sur[?1;α[,g(x)?0;
? sur[α;?1[,g(x)?0;
? g(α)?0.
PartieB:Étudedelafonction f
1. Étudedeslimites
?xa. Onsaitque lim xe ?0etcomme lim ?2x?3??1parsommede
x!?1 x!?1
limitesonconclut: lim f(x)??1.
x!?1
?xb. Ona lim e ?2??1et lim x??1,doncparproduitdelimiteson
x!?1 x!?1
a lim f(x)??1.
x!?1
2. Étuded’uneasymptote
?xa. Soitd lafonctiondéfiniesurRpar:d(x)?f(x)?(?2x?3)?xe .
?xOnavuque lim xe ?0ouencoreque lim d(x)?0,cequimontre
x!?1 x!?1
queladroiteD d’équation y??2x?3estuneasymptote àla courbeC
en?1.
Nouvelle-Calédonie 3 novembre2010BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
?xb. Lesigneded estceluidex puisquee ?0,donc:
? six?0,d(x)?0,cequisignifieque la courbeC estendessous dela
droiteD;
? si x?0,d(x)?0, ce qui signifie que la courbeC est au dessus de la
droiteD;
? six?0,lacourbeetladroiteontunpointcommun(0;3).
3. Étudedesvariationsdelafonction f
0 ?x ?x ?xa. Ona f (x)?e ?xe ?2?e (1?x)?2?g(x).
0b. Le signe de f (x) est celui de g(x) étudié au dessus; d’où le tableau de
variations:
x ?1 α ?1
?3,2
f(x)
?1 ?1
4. Voirplusbas.
PartieC:Calculd’aire
1. a. H estdérivablesurRetsurcetintervalle:
0 ?x ?x ?x ?xH (x)??e ?(?x?1)?(?1)e ?e (?1?x?1)?xe .
?xb. f(x)?xe ?2x?3.
Onadéjàuneprimitivedupremiertermeetuneprimitivede?2x?3est
2?x ?3x,doncuneprimitiveF de f estdéfiniepar:
?x 2F(x)?(?x?1)e ?x ?3x
? ? 3 33 3 ? 3 3 ?2 22. Ona f ? e ?2? ?3? e ?0,33.
2 2 2 2
D’aprèsle tableau devariations la fonction f est décroissante sur l’intervalle? ?
30; de 3 à à peu près 0,33 :elle est donc positive sur cet intervalle et l’aire
2
dudomaineestdoncégaleenunitéd’aireàl’intégrale:
? ? ? ?Z3 232 33 3 3 3?2 2f(x)dx?[F(x)] ?F ?F(0)?(? ?1)e ? ?3?0 2 2 2 20
? ? 3 35 ? 9 9 13 5 ??0 2 2 2? (?0?1)e ?0 ?3?0 ?? e ? ? ?1? ? e (u.a.)
2 4 2 4 2
2Comme1u.a.?2?2?4cm ,l’aireestégaleà:
? ?
3 313 5 ? ? 2 2 2
2 24 ? e ?13?10e cm soitenviron10,77cm à1mm près.4 2
Nouvelle-Calédonie 4 novembre2010y??2x?3
BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
3
2
1
3O
?3 ?2 ?1 1 2 2
?1
C
?2
?3
D
?4
Nouvelle-Calédonie 5 novembre2010