Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2006 S.T.I (Génie Mécanique) Baccalauréat technologique

[BaccalauréatSTI2006\
L’intégraledeseptembre2005àjuin
2006
Antilles-GuyaneGénieélectroniqueseptembre2005 ...3
Antilles-GuyaneGéniedesmatériauxseptembre2005 ..8
Nouvelle–CalédonieGéniemécaniquenovembre2005 11
Nouvelle–CalédonieGénieélectriquenovembre2005 .14
Nouvelle–CalédonieGéniemécaniquemars2006 .....17
AntillesGénieélectroniquejuin2006 ...................19
FranceArtsappliquésjuin2006 .........................23
FranceGénieélectroniquejuin2006 ....................25
FranceGéniemécanique,civiljuin2006 ................29
LaRéunionGénieélectroniquejuin2006 ...............32
LaRéunionGéniedesmatériauxjuin2006 .............36
PolynésieGéniemécaniquejuin2006 ..................40
PolynésieGénieélectroniquejuin2006 .................43L’intégrale2006
2Durée:4heures
[BaccalauréatSTIGénieélectroniqueAntilles\
septembre2005
EXERCICE 1 5points
Unprofesseurd’EducatiorsPhysiqueetSportives’adresseàungroupedevingtélèves
ausujetdeleursloisirsintérêtpourlefootballdanslapratiquedecesportoucomme
spectacleàlatélévision.
Parmicesvingtélèves,onsaitquequinzeregardentdesmatchesàlatelevision,huit
pratiquentcesportetcinqfontlesdeux.
1. Montrerquedeuxélèvesdanscegroupenes’intéressentaufootballnidansla
pratique,niàlatélévision.
2. Unélèvedecegroupeestchoisiauhasard.
a. Quelleestlaprobabilitéqu’ilnes’intéresseaufootballnidanslapratique
niniàlatélévision?
b. Quelleestlaprobabilitéqu’ils’intéresseaufootballàlatélévisionsansle
pratiquer?
3. Oninterrogeauhasardunélèvequiregardelesmatchesàlatélévision.
Quelleestlaprobabilitéqu’ilpratiquelefootball?
4. On attribue au hasard un numéro à chacun des vingt élèves. Une urne com-
porte20jetonsaveclesnumérosenquestion.
Ontiredeux fois auhasardonjeton enle remettant dansl’urne après lepre-
miertirage.
Àchaquetirage,l’élèvedésignégagneunbilletd’entréeaumatchdesonchoix
àconditionqu’ilpratiquelefootballetlesuiveàlatélévision.
a. Déterminerlenombretotaldetiragesdedeuxjetons.
b. Déterminerlenombretotaldetiragespermettantd’obtenirdeuxbillets,
SoitXlavariablealéatoiredéfinieparlenombredebilletsgagnants.
c. DéfinirlaloideprobabilitédeXetsonespérancemathématique.
EXERCICE 2 4points
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.Pourchacunedesquatrequestions
suivantes,au moins une réponse estexacte.Indiquer la (ou les) réponse(s)exacte (s)
survotrecopie.Aucunejustificationn’estdemandée.
1. Onconsidèrel’équationdifférentielley
′
=−2+lnx.Parmilescourbesci-dessous,
où la droite T représente chaque fois la tangente à la courbe considérée au
point d’abscisse1,quelle estcelle susceptible dereprésenter unesolution de
cetteéquationdifférentielle?BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
a.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 1
T
e
2
O
ı

b.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 1
T
e
2
O
ı

Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 1
T
e
2
O
ı

2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct
³
O,
− →
ı ,
− →

´
, on
considèrelespointsAetBd’affixesrespectives ZA=−1+ietZB=I+i.
On appelleC le cercle de centreA et de rayonIetC
′
le cercle de centreB et
derayonI.
Soitn unentiernaturelnonnuletZn=
Ã
−

2
4
−

2
4
i
!
n
.
Pour quelles valeurs de n, parmi celles proposées ci-dessous, l’image de Zn
appartient-elleaudomainegrisé?
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
0
1
2
3
O
A B
− →
u
− →
v
C C
′
a. n=1.
b. n=2.
c. n=3.
3. Lasolutionparticulière f,définiesurR,del’équationdifférentielle
y
′′
+9y=0
telleque f(π)=−

3et f
′
(π)=3est:
a. f(x)=

3cos(3x)−sin(3x).
b. f(x)=−

3cos(3x)+3sin(3x).
c. f(x)=3sin
³
x
3
´
+

3cos
³
x
3
´
.
Antilles-Guyane 5 septembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
4. Soit f lafonctiondéfiniesurRpar f(x)=e
2x
.
Lavaleurmoyennedelafonction f surl’intervalle[ln5; ln10]est:
a.=
2ln2
75
.
b.=
75
2ln5
.
c.=
75
ln4
.
PROBLÈME 11points
PartieA
Onconsidèrelafonctiong définiesurl’intervalle]0;+∞[par:
g(x)=x
2
+1−2lnx.
1. Ondésigneparg
′
lafonctiondérivéedeg.
Déterminerg
′
(x)etétudiersonsignesurl’intervalle]0;+∞[.
2. Dresserletableaudevariationsdelafonctiong.
(L’étude deslimites auxbornesdel’ensemble dedéfinition n’est pasdeman-
dée.)
3. Calculerg(1).Endéduirequeg eststrictementpositivesurl’intervalle]0; +∞[.
PartieB
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0;+∞[,par:
f(x)=
µ
1+
1
x
2
¶
lnx.
Leplanestmunid’unrepèreorthogonal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
d’unitésgraphiquesgraphiques
2cmsurl’axedesabscisseset4cmsurl’axedesordonnées.
On désigne parC la courbe représentative de f et parΓ la courbe d’équation y=
lnx.
1. Déterminerlalimitedelafonction f enzéro.Quepeut-onendéduirepourla
courbeC ?
2. Déterminerlalimitedelafonction f en+∞.
3. Ondésignepar f
′
lafonctiondérivéede f.
a. Montrerque,pourtoutréelx strictementpositif:
f
′
(x)=
g(x)
x
2
.
b. étudierlesignede f
′
(x)etdresserletableaudevariationsdelafonction
f.
4. Ondéfinitsurl’intervalle]0;+∞[,lafonctionh par:
h(x)= f(x)−lnx.
a. Déterminerlalimiteen+∞delafonctionh.
b. étudierlesignedelafonctionh surl’intervalle]0;+∞[.
EndéduirelapositionrelativedelacourbeC etdelacourbeΓ.
5. DétermineruneéquationdelatangenteàlacourbeC aupointAd’abscisse
1.
6. TracerlescourbesC,Γetladroitedanslerepère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
Antilles-Guyane 6 septembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
PartieC
1. SoitH lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[,par:
H(x)=−
µ
1+lnx
x
¶
.
MontrerqueH estuneprimitivedeh surl’intervalle]0;+∞[.
2. Soitαunnombreréelstrictementsupérieurà1.
Calculer l’aireA(α),encm
2
,dudomaine limité parlacourbeC,lacourbeΓ
etlesdroitesd’équationsx=1etx=α.
3. DéterminerlalimitedeA(α)quandαtendvers+∞.
Antilles-Guyane 7 septembre2005[BaccalauréatSTIAntilles-Guyaneseptembre2005\
Géniedesmatériaux,mécaniqueB,C,D,E
EXERCICE 1 4points
Danstout cet exercice, on note g la fonction numérique définie pour tout nombre
réelx,par:
g(x)=sin
³
x
2
−
π
3
´
.
1. Soit(E)l’équationdifférentielle:
4y
′′
=−y,
où y estunefonctiondelavariableréellex.
a. Donnerlasolutiongénéraledel’équationdifférentielle(E).
b. Onnote f lasolution particulière del’équation différentielle (E)quivé-
rifie: f(0)=−

3
2
et f
′
(0)=
1
4
.
Démontrerquelafonction f estégaleàlafonctiong.
2. Soirlavaleurmoyennedelafonctiong surl’intervalle
·
2π
3
;
14π
3
¸
.
a. Calculer.
b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant des valeurs
exactes:
x
2π
3
5π
3
8π
3
11π
3
14π
3
x
2
−
π
3
sin
³
x
2
−
π
3
´
c. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on noteC la courbe repré-
sentativedelafonctiong surl’intervalle
·
2π
3
;
14π
3
¸
.
TracerlacoucheC.
d. Lavaleurdetrouvéeena.est-ellecohérenteaveclegraphiqueeffectué
enc?
Pourquoi?
EXERCICE 2 4points
Unjeuconsisteàtirerunebouledansuneurnequicontientdesboulesrouges,des
boulesvertesetdesboulesnoires.
Larègledu