Sujet du bac S 2008: Mathématique Spécialité
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Etude d'intégrales, intersections de plans dans l'espace, probabilités sans vieillissement et similitudes complexe.
Sujet du bac 2008, Terminale S, Métropole
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Sujet du bac 2008, Terminale S, Métropole
[Baccalauréat S France 19 juin 2008\
EX E R C IC Epoints1 5 Commun à tous les candidats Les courbesCfetCgdonnées cidessous représentent respectivement, dans un re ³ ´ −→−→ père orthonormalO,ı,, les fonctionsfetgdéfinies sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 2 f(x)=lnxetg(x)=(lnx) .
1 −→
−→ 1 ı
e
Cg
Cf
1.On cherche à déterminer l’aireA(en unités d’aire) de la partie du plan ha churée. Z Z e e 2 On noteI=lnxdxetJ=(lnx) dx. 1 1 a.Vérifier que la fonctionFdéfinie sur l’intervalle ]0;+∞[ par F(x)=xlnx−xest une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduireI. b.Démontrer à l’aide d’une intégration par parties queJ=e−2I. c.En déduireJ. d.Donner la valeur deA.
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2.Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n ’aboutit pas. Pourxappartenant à l’intervalle [1; e], on noteMle point de la courbeCf d’abscissexetNle point de la courbeCgde même abscisse. Pour quelle va leur dexla distanceM Nest maximale ? Calculer la valeur maximale deM N.
EX E R C IC E2 5points Commun à tous les candidats Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ³ ´ −→−→−→ O,ı,,k, on considère les points
A(1 ; 1 ; 0),B(1 ; 2 ; 1) et C(3 ;−1 ;2). 1. a.Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b.Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+y−z−3=0. 2.On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectivesx+2y−z−4=0 et 2x+3y−2z−5=0. Démontrer que l’intersection des plane (P) et (Q) est une droite (D), dont une représentation paramétrique est : x= −2+t y=3 (t∈R) z=t
3.Quelle est l’intersection des trois plans (ABC), (P) et (Q) ? 4.te, sera prise enDans cette question toute trace de recherche, même incomplè compte dans l’évaluation. Déterminer la distance du point A à la droite (D).
EX E R C IC E3 5points Commun à tous les candidats La durée de vie, exprimée en heures, d’un agenda électronique est une variable aléa toireXqui suit une loi exponentielle de paramètreλoùXest un réel strictement positif.
Z t −λx On rappelle que pour toutt>0,P(X6t)=λe dx. 0 La fonctionRdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ parR(t)=P(X>t) est appelée fonc tion de fiabilité.
1.Restitution organisée de connaissances −λt a.Démontrer que pour toutt>0 on aR(t)=e . b.Démontrer que la variableXsuit une loi de durée de vie sans vieillisse ment, c’estàdire que pour tout réels>0, la probabilité conditionnelle PX>t(X>t+s) ne dépend pas du nombret>0. 2.Dans cette question, on prendλ=0, 00026. a.CalculerP(X61 000) etP(X>1 000). b.Sachant que l’évènement (X>1 000) est réalisé, calculer la probabilité de l’évènement (X>2 000).
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c.e est laSachant qu’un agenda a fonctionné plus de 2 000 heures, quell probabilité qu’il tombe en panne avant 3000 heures ? Pouvaiton prévoir ce résultat ?
EX E R C IC E4 5points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal directO,u,v(unité graphique : 1 cm). Soient A, B et I les points d’affixes respectives 1 + i, 3−i et 2. ′ ′′2 À tout pointMd’affixez, on associe le pointMd’affixeztelle quez=z−4z. Le ′ pointMest appelé l’image deM. 1.Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l’exercice. ′ ′ 2.et B , images respectives des points A et B.Calculer les affixes des points A Que remarqueton ? 3.Déterminer les points qui ont pour image le point d’affixe−5. ′2 4. a.Vérifier que pour tout nombre complexez, on a :z+4=(z−2) . ¯ ¯ ′ b.En déduire une relation entrez+4 et|z−2|et, lorsquezest différent ¡ ¢ ′ de 2, une relation entre argz+arg (4 etz−2), ′ c.Que peuton dire du pointMlorsqueMdécrit le cercleCde centre I et de rayon 2 ? π i′ 3 5.Soient E le point d’affixe 2+J le point d’affixe2e ,−l’image de E.4 et E ³ ´ −→−→ a.Calculer la distance JE et une mesure en radians de l’angleu; IE. ³ ´ −→−→ ′ ′ b.et une mesure en radians de l’angleCalculer la distance JEu; JE. ′ c.; on laissera apparents lesConstruire à la règle et au compas le point E traits de construction.
EX E R C IC Epoints4 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialitéLe plan est rapporté à un repère ³ ´ −→−→ orthonormal directO,u,v. 7 Soient A et B les points d’affixes respectiveszA=1−i etzB=7+i. 2 1.On considère la droite (d) d’équation 4x+3y=1. Démontrer que l’ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont en tières est l’ensemble des pointsMk(3k+1,−4k−1) lorsquekdécrit l’ensemble des entiers relatifs. 2.Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui trans forme B enM−1(−2 ; 3). 3.Soitsla transformation du plan qui à tout pointMd’affixezassocie le point ′ Md’affixe 2 15 ′ z=iz+ −i. 3 33 Déterminer l’image de A pars, puis donner la nature et les éléments caracté ristiques des. 4.On note B1l’image de B parset pour tout entier naturelnnon nul, Bn+1 l’image de Bnpars. a.Déterminer la longueur ABn+1en fonction de ABn.
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b.À partir de quel entiernle point Bn, appartient til au disque de centre A −2 et de rayon 10? c.Déterminer l’ensemble des entiersnpour lesquels A, B1et Bnsont ali gnés.
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