Sujet du bac S 2008: Mathématique Spécialité
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Géométrie complexe, géométrie dans l'espace, QCM similitude et arithmétique, étude d'intégrales et de fonctions.
Sujet du bac 2008, Terminale S, Polynésie
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Sujet du bac 2008, Terminale S, Polynésie
EX E R C IC E1
[Baccalauréat S Polynésie juin 2008\
4 points
2 1.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équationz−6z+13=0. ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d’affixes respectives a=3−2i,b=3+2i,c=4i. 2.Faire une figure et placer les points A, B, C. 3.Montrer que OABC est un parallélogramme. 4.Déterminer l’affïxe du pointΩ, centre du parallélogramme OABC. 5.Déterminer et tracer l’ensemble des pointsMdu plan tels que −→−−→−−→−−→− °MO+MA+MB+MC°=12.
6.SoitMun point de la droite (AB). On désigne parβla partie imaginaire de l’affixe du pointM. On noteNl’image du point M par la rotation de centreΩ π et d’angle. 2 5 5 a.Montrer queNa pour affixe−β+i. 2 2 b.Comment choisirβpour queNappartienne à la droite (BC) ?
EX E R C IC Epoints2 4 ³ ´ −→−→−→ Dans l’espace rapporté à un repère orthononnalO,ı,,k, on considère les −→ points A(1 ; 2 ; 3), B(0 ; 1 ; 4), C(−1 ;−D(4 ;3 ; 2),−et le vecteur2 ; 5)n(2 ;−1 ; 1). 1. a.Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés. −→ b.Démontrer quenest un vecteur normal au plan (ABC). c.Déterminer une équation du plan (ABC). x=2−2t 2.Soit (Δ) la droite dont une représentation paramétrique est :y= −1+t z=4−t avect∈R. Montrer que le point D appartient à la droite (Δ) et que cette droite est per pendiculaire au plan (ABC). 3.Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC). Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.
EX E R C IC Epoints3 5 Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète. ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. ′ 1.Soitfla fonction solution surRde l’équation différentielley= −y+2 telle quef(ln 2)=1. Proposition 1: « La courbe représentative defadmet au point d’abscisse 0, une tangente d’équationy=2x».
Baccalauréat S
2.Soientfetgdeux fonctions définies sur un intervalle [A;+∞[ oùAest un réel strictement positif. Proposition 2: « Silimf(x)=lim0 alorsf(x)g(x)=0 ». x→+∞x→+∞ 3.On admet qu’un bloc de glace fond en perdant 10 % de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10 kg. Proposition 3: « À partir de la soixantedixième minute, sa masse devient in férieure à 1 g ». 4.Soient A et B deux évènements d’un même universΩmuni d’une probabilité p. Proposition 4: « Si A et B sont indépendants et sip(A) =p(B) = 0,4 alorsp(A∪ B)=».0, 8 5.Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2 % de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabri cation. Ce contrôle refuse 99% des pièces défectueuses et accepte 97 % des pièces non défectueuses. On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle. Proposition 58 ».: « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,950
EX E R C IC Epoints3 5 Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
1. Proposition1: « Pour tout entier naturelnnon nul,net 2n+1 sont premiers entre eux. » 2.Soitxun entier relatif. 2 Proposition 2: «x+x+3=si et seulement si0 (modulo 5)x≡1 (modulo 5). » 3.SoitNun entier naturel dont l’écriture en base 10 estab a7. Proposition 3: « SiNest divisible par 7 alorsa+best divisible par 7. » ³ ´ −→−→ 4.Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. π Proposition 4et de centre le: « La similitude directe de rapport 2, d’angle 6 ¡ ¢ ′ point d’afïixe 1−i a pour écriture complexez=3+iz+3−»i 3. ³ ´ −→−→ 5.O,Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directu,v. On considère un point A. On désigne parason affixe. On notesla réflexion ³ ´ −→ d’axe O;uetsAla symétrie centrale de centre A. Proposition 5: « L’ensemble des nombres complexesatels ques◦sA=sA◦s est l’ensemble des nombres réels. »
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Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : Soientuetvdeux fonctions continues sur un intervalle [a;b] aveca<b. Z b – Siu>0 sur [a;b] alorsu(x) dx>0. a
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Baccalauréat S
Z ZZ b bb £ ¤ – Pourtous réelsαetβ αu(x)+βv(x) dx=αu(x) dx+βv(x) dx. a aa Démontrer que sifetgsont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] avec Z Z b b a<bet si, pour toutxde [a;b],f(x)6g(x), alorsf(x) dx6g(x) dx. a a Partie B On considère la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par : ¡ ¢ −x f(x)=x+ln 1+e .
Sa courbe représentative (C) ainsi que la droite (D) d’équationy=xsont données cidessous dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm. 1.Montrer quefest croissante et positive sur [0 ;+∞[. 2. a.Montrer que la courbe (C) admet pour asymptote la droite (D). b.Étudier la position de (C) par rapport à (D). Z Z 1 1 ¡ ¢ −x 3.Soit I l’intégrale définie par : I=ln 1+e dx=[f(x)−x] dx. 0 0 On ne cherchera pas à calculer I. a.Donner une interprétation géométrique de I. b.Montrer que pour tout réelt>0, on a ln(1+t)6t. (On pourra étudier les variations de la fonctiongdéfinie sur [0 ;+∞[ parg(t)=ln(1+t)−t.) t On admettra que pour tout réelt>0, on a6ln(1+t). t+1 c.En déduire que pour toutxde [0 ;+∞[ , on a : −x e −x−x 6ln (1+e )6e . −x e+1 µ ¶ 2 −1 d.Montrer que ln6I61−e . −1 1+e e.En déduire un encadrement de I d’amplitude 0,4 par deux nombres dé cimaux. 4.On désigne parMetNles points de même abscissexappartenant respecti vement à (C) et (D). On juge queMetNsont indiscernables sur le graphique lorsque ia distance M Nest inférieure à 0,5 mm. Déterminer l’ensemble des valeurs dexpour lesquellesMetNsont indiscer nables. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
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EXERCICE 4
5
4 4
3 3
2 2
1 1
(C)
D
ANNEXE à rendre avec la copie
0 -1 01 2 3 −1 12 3
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-1 −1
4
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