Brevet des collèges

[Brevetdescollèges\
L’intégraledeseptembre2005
àjuin2006
Antilles-Guyaneseptembre2005 ........................3
Amiensseptembre2005 .................................6
Besançonseptembre2005 ...............................9
Bordeauxseptembre2005 ..............................12
Polynésieseptembre2005 ...............................14
AmériqueduSudnovembre2005 ......................17
Nouvelle–Calédoniedécembre2005 ...................21
Pondichéryavril2006 ...................................24
Afriquejuin2006 ....................................... 27
Aix-Marseillejuin2006 .................................31
AmériqueduNordjuin2006 ............................34
Antillesjuin2006........................................37
Guyanejuin2006........................................41
Madagascar,Asiejuin2006..............................46
Bordeauxjuin2006 .....................................49
Nancy-Metzjuin2006 ..................................52
Paris,Amiensjuin2006 .................................55
Centresétrangersjuin2006 .............................60
Polynésiejuin2006 ......................................63A.P.M.E.P. L’intégrale2006
2BrevetAntilles-Guyaneseptembre2005
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12points
Exercice1
Onconsidèrelesexpressionssuivantes:
7 3 4
A= − ×
5 5 21¡ ¢32 −212×10 × 10
B=
−38×10p p p
C=7 32−6 2−3 56.
1. CalculerAetécrirelerésultatsousformed’unefractionirréductible.
2. Donnerl’écriturescientifiquedeB.
p
3. ÉcrireCsouslaformea b,oùa etb sontdeuxentiers.
Exercice2
2Onconsidèrel’expression:D=(2x+3) +(x−8)(2x+3).
1. DévelopperetréduireD.
2. FactoriserD.
3. Résoudrel’équation(2x+3)(3x−5)=0.
Exercice3
1. Résoudrelesystème:
½
3x+2y = 50,30
x+3y = 32,75
2. À la pépinière « Fruifleur », un client achète 3 orangers et 2 citronniers pour
50,30 euros. Un autreclient paye32,75 euros pour 1 oranger et 3 citronniers.
Ondésigneparx leprixd’unorangeret y celuid’uncitronnier.
a. Écrireunsystèmededeuxéquationsquitraduitleproblème.
b. Calculerleprixd’unorangeretleprixd’uncitronnier.
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12points
Exercice1
Ledessinserafaitsurunefeuilledepapiermillimétré(l’unitéétantlecentimetre).
1. Dansunrepèreorthonornsal(O,I,J),placerlespointssuivants:
A(−2 : −1) B(2;−3) C(3; 4).
−→
2. CalculerlescoordonnéesduvecteurAC.
−−→
3. Construire le point D, image du point B dans la translation de vecteur AC.
QuelleestlanatureduquadrilatèreABDC?Onjustifieralaréponse.A.P.M.E.P. L’intégrale2006
Exercice2
Lafiguresuivante n’estpas àreproduire.Elle n’est pasconformeauxmesures don-
nées.
F COn donne : AB = 18cm; BC = 12 cm;
BE = 7,5 cm; BF = 5 cm; AE = 19,5 B
cm. Les droites (FC) et (AE) sont pa-
rallèles.
A E
1. CalculerFC,
2. MontrerqueABEestuntrianglerectangle.
d3. Calculerlatangentedel’angleBAE.
d4. Endéduirelavaleurarrondieaudegrédel’angleBAE.
5. UnepyramideSABEapourbaseletriangleABE.Sahauteur[SB]vaut21cm.
a. CalculersonvolumeV.
′ ′ ′ ′ ′b. Une réduction S A B E de cette pyramide est telle que sa hauteur [SB ]
mesure7cm,Quelestlecoefficientderéduction?Endéduirelevolume
′ ′ ′ ′VdeS A B E
1
Rappel: Volumed’unepyramide= ×airedeIahase×hauteur.
3
PROBLÈME 12points
Unthéâtreproposedeuxprixdeplaces:
• pleintarif:20euros
• tarifadhérent:réductionde30%dupleintarif.
1. a. Quelestleprixd’uneentréeautarifadhérent?
b. Pour avoir droit à la réduction de 30% pour chaque entrée, l’adhérent
doitacheterendébutdesaisonunecarted’abonnement.Sachantqu’un
adhérentadépenséautotal(ycomprisleprixdelacarte)148eurospour
7entrées,montrer,àl’aided’uneéquation,queleprixdelacarted’abon-
nementestde50euros.
c. Recopieretcompléterletableausuivant:
Nombrex d’entrées 0 1 10 15
Prixp (eneuros)1
Prixp (eneuros)2
2. Ondésigneparx lenombred’entréesetonnote:
• p ladépensetotaled’unspectateurquin’estpasadhérent;1
• p ladépensetotaled’unadhérent.2
Exprimerp etp enfonctiondex.1 2
3. Onconsidèrelesfonctions:
p (x)=20x et p (x)=14x+50,1 2
commedesfonctionsdéfiniespouttoutnombrepositifx.
Représentercesfonctionsdansunmêmerepèreorthogonal.Onchoisirapour
unités:
• surl’axedesabscisses:1cmpoutuneentrée
• surl’axedesordonnées:1cmpour20euros.
Àpartirdelalecturedugraphique,indiquer:
a. letarifleplusavantageuxpour6entrées;
Antilles-Guyane 4 BrevetdescollègesA.P.M.E.P. L’intégrale2006
b. lenombreminimald’entréespourquel’abonnementsoitavantageux.
c. Unadhérentconstateque,sansabonnement,ilauraitdépensé46euros
deplus.Combiend’entréescetadhérenttotalise-t-il?
4. Retrouverlerésultatdelaquestion4.c.àl’aided’uneéquation.
Antilles-Guyane 5 Brevetdescollèges[BrevetAmiensseptembre2005\
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12points
Exercice1
Calculer en donnantle résultat sous forme defractions irréductibles pour Aet Bet
ennotationscientifiquepourC.
1
2− 4 −23 1 2 1 3×10 ×10 ×53A= + × + B= C=
−114 4 3 3 10
3+
4
Exercice2 p
ÉcrireDsouslaformea b oùa etb sontdeuxnombresentiers.p p p
D=3 12+ 27−5 3.
Exercice3
2E=(2x−3) −3(2x−3).
1. DévelopperE.
2. FactoriserE.
3. Résoudrel’équation(2x−3x)(2x−6)=0.
p
4. CalculerE pourx= 2.
p
(on écrira le résultat sous la forme a−b 2 où a et b sont deux nombres en-
tiers).
Exercice4
1. CalculerlePGCDde696et406.
406
2. Rendrelafraction irréductible.
696
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12points
Exercice1(Lafigureci-contrenestpasenvraiegrandeur)
F
OndonneAB=4cm,OB=3cm,OC=
6cm.
Lesdroites(BC)et(AF)secoupenten
O.
1. Expliquerpourquoi(AB)et(CF)
sontparallèles.
2. MontrerqueOA=5cm.
3. CalculerOFetCF.
3 BO
C 6
4
5
ABrevetdescollèges L’intégrale2006
Exercice2
SoitC lecercledecentreOetderayon4cm.
[AB]estundiamètreducercleC etM estunpointdececercletelqueAM=5cm.
1. Faire unefigureenrespectant les dimensions données etla compléter au fur
etàmesure.
2. DémontrerqueAMBestuntrianglerectangle.
? ?3. CalculersinMBA.EndéduireunemesuredeMBAarrondieaudegré.
4. PlacerlepointRmilieudusegment[OH].TracerlesymétriquedeM parrap-
portàR,onl’appelleP.
QuelleestlanatureduquadrilatèreMBPO?(Justifier)
−−→ −→
5. EndéduirequeMO =BP .
−−→ −−→ −→
6. ConstruirelepointN telqueMN =MO +BP .
PROBLÈME 12points
Premièrepartie
B
C
A D
Unréservoirestconstituéd’unepyra-
miderégulièreàbasecarréesurmon-
tée d’un parallélépipède rectangle
(Voirfigure).
AB=BC=2m. F
GAE=5m,OI=1,5m
O
(OIestlahauteurdelapyramide)
E
H
31. Calculerlevolumedelapyramideenm .
32. Calculerlevolumeduparallélépipède rectangleenm .
3. Endéduirelevolumeduréservoirlorsqu’ilestplein?
Deuxièmepartie
Amiens 7 septembre2005Brevetdescollèges L’intégrale2006
On remplit d’eau ce réservoir. La
partie pyramidale étant entièrement
pleine, on appelle x la hauteur d’eau
dansleparallélépipèderectangle.
1. Quelles sont les valeurs de x
possibles. Donner la réponse
sous forme d’un encadrement
dex.
2. Exprimer en fonction de x le
B
Cvolume d’eaudansleparallélé-
A Dpipède.
3. Montrer que le volume d’eau
dans le réservoir est donné par
la fonction affine V définie par
V(x)=4x+2.
4. Représenter graphiquement F x
G
cette fonction affine V en
O
prenant 1 cm pour 0,5 m en
E3 Habscisse et 1 cm pour 2 m en
ordonnée.
5. Liresurlegraphiqueunevaleur
de x telle que le volume d’eau
3égale12m .
6. Trouver par le calcul le volume
d’eau dans le réservoir lorsque
x vaut1,8m.
Quelestalorslepourcentagede
remplissage du réservoir? (ar-
rondiràl’unité).
Amiens 8 septembre2005[BrevetBesançonseptembre2005\
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12points
Exercice1
2 1
+ −3 5 p p p35×10 ×3×103 6
A= 2 ; B= ; C=3 5−2 80+ 20.
−11 21×10
2−
2
1. ÉcrireAsouslaformed’unefractionirréductible.
n2. ÉcrireBsouslaformea×10 oùa estunentieretn unentierrelatif.
p
3. Écrire C sous la forme a b où a est un entier relatif et b un entier positif le
pluspetitpossible.
Exercice2
2Soitl’expressionD=(3x−1)(2x+5)−(3x−1) .
1. Développeretréduirel’expressionD.
2. Factoriserl’expressionD.
Exercice3
Résoudrelesdeuxéquationssuivantes:
1. (x+2)(3x−5)=0;
2. x+2(3x−5)=0.
Exercice4
1. CalculerlePGCDdesnombres462et546.
462
2.