Correction du brevet des collèges Polynésie juin

[CorrectiondubrevetdescollègesPolynésiejuin2010\
Durée:2heures
ACTIVITÉSNUMÉRIQUES 12points
Exercice1
1. DéterminonslePGCDde120et144parl’algorithmed’Euclide:
PGCD(144;120) 144=1×120+ 24
=PGCD(120;24) 120=5×24+0
= 24
Leplusgranddiviseurcommunde144et120est24.
2. Unvendeurpossèdeunstockde120flaconsdeparfumautiareetde144savonnettesaumonoï.
Le nombre de flacons de parfum au tiare et de savonnettes doit le même dans chaque coffret et tous les flacons et
savonnettesdoiventêtreutilisés,donconrechercheundiviseurcommunà144et120.
IlveutconfectionnerleplusgrandnombredecoffretsdonconrecherchelePGCDde144et120.
D’aprèslaquestionprécédente,ilfaudra24coffretsàpréparer.
144:24=6et120:24=5doncchaquecoffretcontiendra 6savonnetteset5flaconsdeparfum .
3. L’algorithmedessoustractionssuccessivespermetdetrouverlePGCDdedeuxentiersdonnés.
Ilutiliselapropriétésuivante:
«a etb étantdeuxentierspositifstelsque a supérieuràb,
PGCD(a ; b)=PGCD(b ; a−b).»
Suruntableur,HeiariiacréécettefeuilledecalculpourtrouverlePGCDde2277et1449.
A B C
1 a b a−b
2 2277 1449 828
3 1449 828 621
4 828 621 207
5 621 207 414
6 414 207 207
7 207 207 0
a. Enutilisantsafeuilledecalcul,lePGCDde2277et1449est 207 (dernièredifférencenonnulle).
b. LaformuleécritedanslacelluleC2pourobtenirlerésultatindiquédanscettecelluleparletableurest =A2-B2
Exercice2
Surlemanège«Caroussel»,ilyaquatrechevaux,deuxânes,uncoq,deuxlionsetunevache.Ilyadonc4+2+1+2+1= 10
animaux.
Surchaqueanimal,ilyauneplace.Vaites’assoit-auhasardsurlemanège.
4 2
1. Laprobabilitéqu’ellemontesurunchevalest =
10 5
2. Onconsidèrelesévènementssuivants:
A :«Vaitemontesurunâne.»
C :«Vaitemontesuruncoq.»Brevetdescollèges A.P.M.E.P.
L :«Vaitemontesurunlion.»
³ ´ 10−2 8 4
a. L’évènement nonL est:«Vaitenemontepassurunlion.»etacommeprobabilité p L = = =
10 10 5
b. La probabilité del’évènement A ouC est p(AouC)=p(A)+p(C)car les évènements sont disjoints (ou incom-
patibles),carVaitenepeutpasmontersurdeuxanimauxàlafois!!!
2 1 3
Doncp(AouC)=p(A)+p(C)= + =
10 10 10
Exercice3
HitietKalusontdeuxentreprisesdecentpersonnesquiontfaitparaîtrelesinformationssuivantes:
Salairemoyen EntrepriseHiti EntrepriseKalu Effectif EntrepriseHiti EntrepriseKalu
enfrancs Hommes/
Femmes
Hommes 168000 180000 Hommes 50 20
Femmes 120000 132000 Femmes 50 80
Calculonslamoyennedessalairesdansl’entrepriseHiti:
168000×50+120000×50 14400000
= =144000soit 144000 francs.
50+50 100
Calculonslamoyennedessalairesdansl’entrepriseKalu:
180000×20+132000×80 14160000
= =141600soit 141600 francs.
20+80 100
Kévinatort.Enmoyenne,onestmieuxpayéchezHiti!
ACTIVITÉSGÉOMÉTRIQUES 12points
Exercice1
Lafigureci-contren’estpasenvraiegrandeur. A
L’unitédelongueurestlecentimètre.
GH K
DansletriangleABC,oninscritunrectangleEFGHoù
Hestsur[AB],Gsur[AC],EetFsur[BC].
Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hau-
teurissuedeA.(AL)coupe[GH]enK.
On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm et AK= x cm où x
désigneunnombrepositif
B E L F C
PARTIE1:Danscettepartie,onseplacedanslecasparticulierouBL=4,8cmetx=1cm.
1. Figureenvraiegrandeur.
¡ ¢BL×LA 4,8×62 22. L’aireencm dutriangleBLAest = =4,8×3=14,4 cm
2 2
3. Onsouhaitejustifier quelesdroites(HG)et(BC)sontparallèles. Lapropriétéquipermet cettejustification est«Siun
quadrilatèreestunrectanglealorssescôtésopposéssontparallèlesdeuxàdeux.»
4. DanslerectangleEFGH,lesdroites(HK)et(EF)sontparallèles,or(EF)=(BL)donc(HK)//(BL).
Depluslesdroites(BH)et(LK)sontsécantesenA.
D’aprèslethéorèmedeThalès,ona:
AH AK HK
= =
AB AL BL
1 HK 1×4,8
Donc = ,puisHK= =0,8(cm)
6 4,8 6
Lesegment[HK]mesure 0,8(cm) .
PARTIE2:Danscettepartie,onseplacedanslecasgénéraloùBLetx nesontpasconnus.
Polynésie 2 juin2010,CorrigéparV-EDubauBrevetdescollèges A.P.M.E.P.
1. LespointsA,K,Létantalignés,lalongueurKLvaut(6−x)cm.
2. On déplace le point K sur le segment [AL]. L’utilisation d’un tableur a permis d’obtenir les longueurs KL et HG pour
différentesvaleursdex.
x 0,6 1,5 1,8 2,1 4,2 4,5 5,1
KL 5,4 4,5 4,2 3,9 1,8 1,5 0,9
HG 1,4 3,5 4,2 4,9 9,8 10,5 11,9
a. Parunesimplelecturedetableau,KL=1,5cmetHG=10,5cmpour x égalà4,5cm.
b. Pour x=1,8onal’égalitéKL=HG=4,2cm.
Danscecas,lequadrilatèreEFGHestuncarré.
Exercice2
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.Aucunejustificationn’estdemandée.
Pourchaquequestion,quatreréponsessontproposées,maisuneseuleestexacte.
ÉcriresurvotrecopielenumérodelaquestionetlaréponseexacteA,B,CouDchoisie.
RéponseA RéponseB RéponseC RéponseD
1. IJK est un triangle rec- 12,96cm 3,6cm 1,8cm 5,2cm
tangleenItelque:
IK = 2,7 cm et KJ =
4,5cm.Quelleestlalon-
gueurducôté[IJ]?
2. On rappelle la formule 13,2π 150 47π 47,916π
du volume d’une boule
derayonr :
4 3V = ×π×r . Le vo-
3
3lume exact en cm
d’uneballedetennis de
3,3cmderayonest:
3. Dans le cube ABC- losange carré rectangle parallélépipède
DEFGH, le quadri- rectangle
latère ADGF est un :
H
G
E
F
D
C
A
B
PROBLÈME 12points
PARTIEA
Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue pour une
traverséeinter-îlesde17kilomètres.
1. LepremierdépartdeCatamaranExpressestà5h45minpourunearrivéeà6h15min,doncletrajetdure0,5h
17km
Savitessemoyenneestdonc = 34km/h .
0,5h
Polynésie 3 juin2010,CorrigéparV-EDubauBrevetdescollèges A.P.M.E.P.
2. LavitessemoyennedeFerryVogueestde20km/h.
17km 17
Laduréeduvoyageest: = h=0,85h=0,85×60min=51min.
−1 2020km.h
S’ilquittelequaià6h,ilarriveraà 6h51min .
PARTIEB
OndonneendocumentannexelesreprésentationsgraphiquesC etC dedeuxfonctions.1 2
L’uned’entreellesestlareprésentationgraphiqued’unefonctionaffine g définiepar:
g(x)=1000x+6000
Àl’aidedugraphique,répondreauxquestionssuivantesenfaisantapparaîtrelestracésnécessairesàlalecturegraphique.
1. LescoordonnéesdupointEsemblentêtreE(7;21000)(voirlespointilléssurlafigure).
2. Les abscisses des points d’intersection des deux représentations graphiques semblent être 3 et 15 (voir les pointillés
surlafigure).
3. g estunefonctionaffinedoncsacourbeestunedroite.Doncc’estlacourbeC2
4. L’imagede12parlafonction g sembleêtre 18000 .Vérifionsencalculant g(12):
g(12)=1000×12+6000=12000+6000= 18000
5. L’antécédentde15000parlafonction g sembleêtre 9 .Retrouvonscerésultatenrésolvantl’équation:
1000x+6000 = 15000
1000x = 15000−6000
9000
x =
1000
x = 9
PARTIEC
Lacompagniedetransportmaritimeproposetroistarifspourunvoyagequelquesoitlebateauchoisi:
• TarifM:onpaie2500francschaquevoyage.
• TarifN:onpaieunecartemensuelleà6000francsauquels’ajoute1000francspourchaquevoyage.
• Tarif P :onpaie 3000 francs par voyagejusqu’au septième voyagepuis oneffectue gratuitement les autres traversées
jusqu’àlafindumois.
1. Lesprixàpayerenfonctiondunombredevoyages,avecdeuxdecestarifs,sontreprésentésparlescourbesC etC .1 2
CourbeC :TarifP1
CourbeC :TarifN2
2. La fonction f définie par : f : x7?→ 2500x est une fonction linéaire, donc sa courbe représentative est une droite
passantparl’originedurepère.
Deplus f(10)=25000doncC passeparlepointdecoordonnées(10, 25000).Voirlegraphique.f
3. Pourunnombredevoyagescomprisentre4et15,letarifNestplusavantageux quelesdeuxautres(voirlaflèchesur
legraphique).
Polynésie 4 juin2010,CorrigéparV-EDubauBrevetdescollèges A.P.M.E.P.
Annexeàrendreaveclacopie
Prixàpayer
C =C3 f
26000
C =C2 g24000
22000
E
C120000
18000
16000
14000
12000
TarifNleplusavantageux10000
8000
6000
4000
2000
Nombredevoyages
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Polynésie 5 juin2010,CorrigéparV-EDubau