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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Exercice 5 p 302 : 1) ; 145 ; ; 113 Dans le repère orthonormé, · 1 4 15 18 Or, · cos, . Ainsi, cos, · 18!1_$ 4$ 5$ √1$ 1$ 3$ 18√462 c'est-à-dire : cos ( 18√462 2) OU 1ère méthode : · ) · ) , car · , 0 (la situation correspond donc à la deuxième figure). Donc, ) · 18√11 Dans le triangle ABH rectangle en H, on a, d'après le théorème de Pythagore : )$ $ )$ )$ 42 . 18√11/$ 42 32411 13811 , donc ) 213811 L'aire du triangle est donc : )2 √11 3 138112 12√138 u. a.
Voir
Exercice 5 p 302 : 1) ; 145 ; ; 113 Dans le repère orthonormé, · 1 4 15 18 Or, · cos, . Ainsi, cos, · 18!1_$ 4$ 5$ √1$ 1$ 3$ 18√462 c'est-à-dire : cos ( 18√462 2) OU 1ère méthode : · ) · ) , car · , 0 (la situation correspond donc à la deuxième figure). Donc, ) · 18√11 Dans le triangle ABH rectangle en H, on a, d'après le théorème de Pythagore : )$ $ )$ )$ 42 . 18√11/$ 42 32411 13811 , donc ) 213811 L'aire du triangle est donc : )2 √11 3 138112 12√138 u. a.
- ssi z
- kl m12012
- ei ei
- ssi
- √22 √22
- milieu de fg
- eb kl
- √32 √32
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Exercice 5 p 302 : 1) 1 1 ; 4 ; ; 1 5 3 Dans le repère orthonormé, · 1 4 15 18 Or, · cos,. Ainsi, · 18 18 cos, $ $ $$ $ $ !"1# 4 5 √1 1 3 √462 c’est-à-dire : 18 ( cos √462 2)
OU
ère 1 méthode: · ) · ) ,car · 0(la situation correspond donc à la deuxième figure). Donc, · 18 ) √11 $ $ $ Dans le triangle ABH rectangle en H, on a, d’après le théorème de Pythagore :) ) $ 18 324138 138 $ ) 42 / 42 ,donc ) 11 1111 √11 L’aire du triangle est donc : 138 √11 )1 11 u. a. √1382 22
ème 2 méthode:Notons"; ; #les coordonnées du point H. On sait que) · 0et que)etsont colinéaires. ) 3 ; ) 4 ) · 0 3 3 12 0 3 15 0 )etsont colinéaires ssi il existe un réel:tel que) :. Or 1 ) 1 ; ) 1 1 : < Ainsi,)etsont colinéaires ssi il existe un réel:tel que 1 : 1 3: 1 : < ssi il existe un réel:tel que 1 : 1 3: Par conséquent, H est le pied de la hauteur issue de A ssi 1 : < 3 15 0 et il existe un réel : tel que 1 : 1 3: 1 : < ssiil existe un réel : tel que 1 :et 1 : 1 : 3 9: 15 0 1 3: 1 : EF < ssiet : 1 :il existe un réel : tel queEE 1 3: $G HIJ ssi ; ; EE EEEE $G EE $ $ $ $N $G$N EEJF Ainsi,) et) R S RS R S EE EEEE EEEE E EE O ère On termine comme à la 1méthode pour le calcul de l’aire.
Exercice 7 p 302 : 1 4 T2etU23 0 1) a) Dans le repère orthonormé, T·U4400TetUsont donc bien orthogonaux. E $ $ $ b)VT1√V432√1, doncWolinéaire àTe ETest ct de norme 1. √EI E $ $$ 0 20 c) "2#√VUV !4, doncW$Uest colinéaire àUet de norme 1. √$X 2 3 0 2 3 0 < < 2) a)Yest orthogonal àTetUssi0YT·YU·ssiZssiZ4 2 0 2 \ < ssi[J 2 Il y a donc une infinité de solutions. 3 Si l’on choisir, par exemple, 3, on obtient :6 Y etYest orthogonal àTetU. 5 b) En utilisant ce qui précède, il suffit de prendre un vecteur de norme 1, colinéaire àY. E ^E $ $$ VYV!36"5#7WYWY √ 0, doncJouJ. √HX √HX
Exercice 10 p 302 : Voir figure sur Geospace. Choisissons un repère orthonormé. Le repère_; _, _, _)convient. Dans ce repère, les différents points ont pour coordonnées : "1; 0; 0#, "1; 1; 0#, "0; 1; 0#, _"0; 0; 0#, `"1; 0; 1#, à"1; 1; 1#, b"0; 1; 1#, )"0; 0; 1#1 11 1 1 C 1;; 1/ , D 0;; 1/ , É ; ;/2 22 2 2 carCest le milieu def`àg,Dla milieu def)bget O le milieuf)g. On obtient donc : 1 1 2 2 h h 1 1 É het de même É , soit É , h , É2 2 h h 1 1 O O 2 2 E E EE Ainsi, É · É I I II $ $ $$ $$ E E E√J EE E√J OrR S RS R SÉ ,R SÉ R S RS et $ $ $$ $$ $$ ( É · É É É cosÉ, donc 1 É · É1 4 ( ( cosÉ et Ék 70,5° 3 É É√3 √3 2 2 De la même façon, 1 2 1 1 É· Éb1 4 (( Éb ,cosÉb etÉb k 109,5° 3 2 É Éb√3 √3 1 2 2 O 2 1 1 2 2 ÉC · ÉD0 ÉC 0 ,ÉD 0 ,cosCÉD 0 et CÉD 90° ÉC ÉD√2 √2 1 1 2 2 2O 2O 0 15 1 1C · D5 √5 4 C ô , D ô , cosCD et CD k 41,8° 3 2 2C D√5 33√5 1 1 2 2
Exercice 38 p 305 :"3; 0; 3# et "1; 1; 4#1) Le plan (P), médiateur defgest le plan perpendiculaire à"#, passant par le milieu defg. Le vecteurest donc un vecteur normal à (P). 2 1 , 1 Cherchons une équation cartésienne de (P) sous la formep 0. On peut prendrep 2, 1et 1. (P) admet donc une équation du type :2 0. (P) passe par le milieu defg; notons ce point I. E EE EH " # 2 ; " # " # On a : et . $ $$ $$ 1 7 C û "v# 2 0 4 0 02 2 (P) admet donc pour équation :2 0. 2)"Π#admet pour équation 2 3 0. 1 Le vecteur1est donc normal au plan"Π#. 2 # "Π#fg On cherche" ; ;tel quesoit le plan médiateur de. Cela revient à chercher C tel queetsoient colinéaires et"Π#passe par le milieu defg. 3 1 , et1sont colinéaires ssi il existe un réel:tel que : 3 2 3 : 3 : < < : : ssi il existe un réel:tel que ssi il existe un réel:tel que 3 2: 3 2: NotonsDle milieu defg. E zE zE " # 3 ; " # " # 3 : Alors,y y ety $ $$ $$ : : D û "Π# 2 3 0 3 / 2"3 :# 0 : 4y yy 2 2 1 < Ainsi, 4. 5 3){"; ; #est équidistant de A, B et C ssi{appartient au plan médiateur defget à celui defg. 2 0 < ssi"; ; #est solution deZ 2 3 0 ssi{ û "v# | "Π#. 2 1 Remarquons que les vecteurs 1et1ne sont pas colinéaires. Les plans"v#et"Π#ne sont pas 1 2 parallèles et"v# | "Π#est une droite.
