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Niveau: Secondaire, Lycée
Mathematiques en ligne http ://math.unice.fr/ejunca Probabilites Pour le CAPES de Mathematiques 1 Univers fini et probabilites discretes 2 Probabilites conditionnelles 3 Variables aleatoires finies 4 Variables aleatoires a densites Historiquement, les variables aleatoires a densites sont apparues comme approximations de variables aleatoires finies : approximation de la loi binomiale par la loi normale. Mais elles ont leur intert propre pour etudier des quantites continues. Definition 1 (Variable aleatoire a densite) Soit X une variable aleatoire reelle. On dit que X est une variable aleatoire a densite s'il existe une fonction fX , appelee densite de X, continue par morceaux sur R telle que, pour tout a, b ? R, a ≤ b on a : P (a ≤ X ≤ b) = PX([a, b]) = ∫ b a fX(x)dx. Ainsi X est une variable aleatoire a densite si l'on peut calculer sa loi a l'aide d'integrales. Comme une probabilite est toujours positive on en deduit qu'au point de continuite de fX , fX est positive ou nulle. Les valeurs de fX en ses points de discontinuite n'interviennent pas dans le calcul des integrales de fX sur les segments de R. En pratique on peut donc supposer que fX est postive sur R. Comme une probabilite est toujours majoree par 1 on en deduit que necessairement, l'integrale de la fonction positive fX sur tout R est convergente.
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Mathematiques en ligne http ://math.unice.fr/ejunca Probabilites Pour le CAPES de Mathematiques 1 Univers fini et probabilites discretes 2 Probabilites conditionnelles 3 Variables aleatoires finies 4 Variables aleatoires a densites Historiquement, les variables aleatoires a densites sont apparues comme approximations de variables aleatoires finies : approximation de la loi binomiale par la loi normale. Mais elles ont leur intert propre pour etudier des quantites continues. Definition 1 (Variable aleatoire a densite) Soit X une variable aleatoire reelle. On dit que X est une variable aleatoire a densite s'il existe une fonction fX , appelee densite de X, continue par morceaux sur R telle que, pour tout a, b ? R, a ≤ b on a : P (a ≤ X ≤ b) = PX([a, b]) = ∫ b a fX(x)dx. Ainsi X est une variable aleatoire a densite si l'on peut calculer sa loi a l'aide d'integrales. Comme une probabilite est toujours positive on en deduit qu'au point de continuite de fX , fX est positive ou nulle. Les valeurs de fX en ses points de discontinuite n'interviennent pas dans le calcul des integrales de fX sur les segments de R. En pratique on peut donc supposer que fX est postive sur R. Comme une probabilite est toujours majoree par 1 on en deduit que necessairement, l'integrale de la fonction positive fX sur tout R est convergente.
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Poribab´tilsePour leCAPES deMqieumetaath´s
1virenUpretnisfiitilabobrcsidse´sete` 2e´csnoidbobalitiestriPonnell 3iotafiserselbe´laVariaesni 4Variablesale´atoires`adensit´es Historiquement,lesvariablesale´atoires`adensit´essontapparuescommeapproximationsde variablesal´eatoiresfinies:approximationdelaloibinomialeparlaloinormale.Maisellesont leurinte´rtproprepoure´tudierdesquantite´scontinues. De´finition1(Variableale´atoirea`densite´) SoitXvaneutqueOndille.r´eeioere´taellairbaXl’iest´unevestbleaariaotri´laeneis`eda existe une fonctionfX´eedensit´edeleppa,X, continue par morceaux surRtelle que, pour tout a, b∈R, a≤bon a : Z b P(a≤X≤b) =PX([a, b]) =fX(x)dx. a AinsiXavenutsereoiat´ealleabrii’dee´tnla`idia’algr.ese´is’lnoa`edsntiulersalopeutcalc Commeuneprobabilite´esttoujourspositiveonende´duitqu’aupointdecontinuite´defX, fXest positive ou nulle. Les valeurs defXtndsdesioctnniiuensespoispantenneivretni’ne´t danslecalculdesinte´gralesdefXsur les segments deR. En pratique on peut donc supposer quefXest postive surRmeeeusntteopurjobabi.lCiotm´´reeap1ruosramojtquiueenonedd´ n´ecessairement,l’inte´graledelafonctionpositivefXsur toutRgearelveontces´tnietteC.etnegr impropreestmme´egale`a1carP(X∈R) = 1. Z a Sia=b,fX(x)dxbobaalrpe´uqlitie0,=ncdoXuqerbmoneuqnocleit´eso`aungale a fix´e`al’avanceestnulle!Ainsi,latouche”random”devotrecalulatricesimulelaloia`densit´e uniforme sur [0,te´avno’leuq]1deceustisnaltnad´emeecisrpr´udieatilchoueettetces.noisniA ”random” sort un nombreau hasardcompris entre 0 et 1. On se fixe d’abord, un nombre entre 1 1 0 et 1, celui que vous voulez, par exempleaousm.Jev=irtbnedfio’due´teasexactement 2 2 en appuyant sur votre touche ”random” autant de fois que vous voulez. Exercice:Relevezled´efi. Ainsi,unevariableal´eatoire`adensite´a`uncomportementtr´esdiff´erentd’unevariable al´eatoireneprenantqu’unnombrefinioud´enombrabledevaleurs.Unevariableale´atoirea` densit´eprendn´ecessairementuncontinumdevaleursre´elles. Onadonclesproprie´t´essuivantes: Propri´ete´s1(desdensite´s) SoitXdmetllealadetante´taella´reeioeruabrivanetisne´fX. On noteFXsa fonction de r´epartition,FX(x) :=P(X≤x)et:s.Onalespropri´et´essuivan
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