MODULE ”ANALYSE DE FOURIER”. CHAPITRE 1 ...
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- cours - matière potentielle : licence l2
- theoreme de lebesgue
- application lineaire
- theorie de riemann
- analogue dans le cadre de l'integrale de lebesgue
- espace de hilbert
- integrales sur ir
- lp ′
- irn
- theoreme
- lp
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61
MODULE”ANALYSEDEFOURIER”.CHAPITRE1.
COMPLEMENTSSURLESESPACES
L
p
.
1.De´finitions.
Nousemploieronsdanslasuitelesespaces
L
p
(IR
n
)introduitsenMA62(1
≤
p
≤∞
).Entouterigueur,
ilfaudraitlesnoter
L
p
(IR
n
,
B
,µ
),maisnoussous-entendronstoujours
B
(quiseratoujourslatribuBore´lienne
comple´te´e)et
µ
(quiseratoujourslamesuredeLebesgue).Saufindicationcontraire,touteslesfonctions
sonta`valeursdans
C
.Rappelonslad´efinitiondecesespaces.
De´finition1.
Si
1
≤
p<
∞
,unefonction
f
:IR
n
→
C
estdans
L
p
(IR
n
)
si:
1)
f
estmesurable.
R2)Ona
IR
n
|
f
(
x
)
|
p
dx<
+
∞
.
Pourtout
f
∈L
p
(IR
n
)
,onposera:
Z
1
/p
k
f
k
p
=
|
f
(
x
)
|
p
dx
nRI
EnMA62,one´crivait
dµ
aulieude
dx
.Ici,nouschangeonsdeconvention.
De´finition2.
SiUnefonction
f
:IR
n
→
C
estdans
L
∞
(IR
n
)
si:
1)
f
estmesurable.
2)Ilexiste
A
≥
0
telquel’ensemble
{
x
∈
IR
n
,
|
f
(
x
)
|
>A
}
soitdemesurenulle.
Lapluspetiteconstante
A
ayantcetteproprie´te´seranote´e
k
f
k
∞
.
Si
E
estunsous-ensembledeIR
n
,quiserasouventuneboule,ousoncomple´mentaire,ou,si
n
=1,une
demi-droite,onde´finitdemeˆme
L
p
(
E
).
Exemples.
1.Si
f
est
R
continuesurIR
n
,
f
estmesurable,et
f
seradans
L
p
(IR
n
)(1
≤
p<
∞
)si,et
seulementsi,l’inte´grale
IR
n
|
f
(
x
)
|
p
dx
converge.
2.Demeˆme,
f
,continuesurIR
n
,estdans
L
∞
(IR
n
)si,etseulementsi,
f
estborne´e,etonaalors:
k
f
k
∞
=sup
|
f
(
x
)
|
nRI∈x3.Demeˆme,si
n
=1,etsi
f
estlocalementinte´grableausensdeRiemann(c’est-a`-direRiemann-inte´grable
surtoutsegment[
a,b
]),
f
estmesurable,etlaconclusiondupoint1s’applique.
4.IlexisteunseulchapitreducoursdelicenceL2quin’apasd’analoguedanslecadredel’inte´gralede
Lebesgue:c’estceluidesinte´gralessemi-convergentes.Ainsi,enL2,onaapprisa`donnerunsens(eta`
calculer)l’inte´grale:
Z
∞
sin
tdt
=
π
2t0alorsquelafonctionsouslesigned’inte´gration
n’estpas
dans
L
1
(IR
+
)(siellee´taitdans
L
1
(IR
+
),l’inte´grale
ci-dessusseraitabsolumentconvergente,cequin’estpaslecas.
1
5.Soit
E
labouleunite´de
R
n
,etsoit
α
∈
IR.Alorslafonction
f
de´finie(saufpour
x
=0)par
f
(
x
)=
|
x
|
α
estdans
L
1
(
E
)si,etseulementsi
α>
−
n
.Pourquellesvaleursde
α
est-elledans
L
p
(
E
)?
6.Soit
F
lecomple´mentairedelabouleunite´dansIR
n
,etsoitet
α
∈
IR.Alorslafonction
g
de´finiepar
g
(
x
)=
|
x
|
α
estdans
L
1
(
F
)si,etseulementsi
α<
−
n
.Pourquellesvaleursde
α
est-elledans
L
p
(
F
)?
7.Si
f
estunefonctionde´finie’explicitement’,laquestiondesonappartenancea`
L
p
(IR
n
)peutparfoiseˆtre
re´solueparcomparaisonaveclesfonctionsci-dessus.Lesfonctionssuivantessont-ellesdans
L
1
(IR)?
2f
(
x
)=
e
−
x
g
(
x
)=(1+
x
2
)
−
21
h
(
x
)=
g
(
x
)
1+(ln
x
)
2
Si
Q
estuneformequadratiquesurIR
n
,a`quelleconditionlafonction
x
→
e
−
Q
(
x
)
est-elledans
L
1
(IR
n
)?
8.Enfin,lesfonctionscontinuesa`supportcompact(c’est-a`-direnulleshorsd’unepartiecompactedeIR
n
)
sontdans
L
p
(IR
n
)pourtout
p
≥
1.
RRappelonsleplusimportant.Si
f
∈L
1
(IR
n
),onpeutde´finirl’inte´grale
IR
n
f
(
x
)
dx
,etonal’ine´galite´,
dite’triangulaire’:
Z
f
(
x
)
dx
≤k
f
k
1
nRI
Lesclassesd’e´quivalence.
Si
f
estdans
L
p
(IR
n
),l’e´galite´
k
f
k
p
=0entraıˆneque
f
(
x
)=0presque
partout,maisn’entraıˆnepas
f
=0,desorteque
kk
p
nepeutpaseˆtreunenormesur
L
p
(IR
n
).Onde´finit
unerelationd’e´quivalencesur
L
p
(IR
n
)ene´crivant
f
∼
g
si
f
(
x
)=
g
(
x
)presquepartout.Onnote
L
p
(IR
n
)
l’espacequotientde
L
p
(IR
n
)parcetterelationd’e´quivalence.Onvoitque
f
∼
g
implique
k
f
k
p
=
k
g
k
p
,de
sortequel’application
kk
p
estbiende´finiesurl’ensemblequotient
L
p
(IR
n
).
The´ore`me.(Ine´galite´deHo¨lder.)
Soient
p
≥
1
et
q
≥
1
ve´rifiant
p
1
+
q
1
=1
.(Onditparfoisque
p
et
q
sontconjugue´s.)Alors,si
f
estdans
L
p
(IR
n
)
et
g
dans
L
q
(IR
n
)
,leproduit
fg
estdans
L
1
(IR
n
)
etl’ona:
k
fg
k
1
≤k
f
k
p
k
g
k
q
Lorsque
p
=
q
=2,(casleplusimportant),cetteine´galite´portelenomdeCauchy-Schwarz.
The´ore`me.
L’application
f
→k
f
k
p
estunenormesur
L
p
(IR
n
)
.
Etantdonne´e
f
∈
L
p
(IR
n
),parlerdesarestrictiona`unhyperplan,a`lasphe`reunite´,etc..oumeˆmede
savaleurenunpointn’aaucunsens,puisqueleshyperplans,lessphe`resetlespointssontdesensemblesde
mesurenulle.Cependant,nousferonssouventlaconfusionentre
L
p
(IR
n
)et
L
p
(IR
n
).
2.Espacescomplets.
Signalonsmaintenantlaproprie´te´quiestlaraisond’eˆtredelathe´oriedel’inte´grationvueenMA62.
The´ore`me.
L’espace
L
p
(IR
n
)
estcompletpourlame´triqueassocie´ea`sanorme.
Autrementdit,
L
p
(IR
n
)estunespacedeBanach.Cetteproprie´te´n’apasd’analoguedanslathe´oriede
l’inte´gralede
R
Riemann.Si(
f
n
)estunesuitedefonctionsRiemann-inte´grablessurunsegment[
a,b
]telleque,
parexemple
ab
|
f
n
(
x
)
−
f
m
(
x
)
|
dx<
2
−
m
si
m<n
,rien,danslathe´oriedeRiemann,permetdeconclurea`
bRl’existenced’unefonction
f
,inte´grablesur[
a,b
],telleque
a
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
dx
tendevers0.Aucontraire,la
proprie´te´analogueestvraieaveclathe´oriedeLebesgue.
2
