Applications lineaires compactes
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- operateurs compacts
- espace de banach
- donne des proprietes fondamentales de stabilite des operateurs compacts
- theoreme
- lineaire continue de rang fini
- projecteur continu
- base duale pour le dual l?
- applica- tion lineaire
Chapitre
5
Op´rateurs
5.1
compacts
Applications lin´aires compactes
D´finition 5.1.1SoientEetFdeux espaces de Banach; une application lin´aire
continueT∈ L(E, F)est ditecompactesi l’imageT(BE)par l’applicationTde
la boule unit´ ferm´eBEde l’espaceEestrelativement compacte(en norme)
dansF. On noteK(E, F)l’ensemble des applications lin´aires compactes deE
dansF. On poseK(E) =K(E, E).
La proposition suivante donne des propri´t´s fondamentales de stabilit´ des op´rateurs
compacts.
Proposition 5.1.1SoientEetFdeux espaces de Banach; l’ensembleK(E, F)
est un sous-espace vectoriel ferm´ deL(E, F). SoientE, FetGdes espaces de
Banach,S∈ L(E, F)etT∈ L(F, G); siSouTest compacte alorsT Sest
compacte. En particulier,K(E)est un id´al bilat`re deL(E).
Preuve :Il est clair que siT∈ K(E, F) etλ∈K, alorsλT∈ K(E, F).
Soient maintenantT1etT2deux applications lin´aires compactes deEdansF,
et consid´rons les ensemblesA1=T1(BE), A2=T2(BE) etA= (T1+T2)(BE) ;
il est clair que A est contenu dansA1+A2, donc il est relativement
compact d’apr`s une proposition des pr´requis sur le compacts. Ceci montre que
K(E, F) est un sous-espace vectoriel deL(E, F). Supposons queT∈ L(E, F)
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