Bases du Modele Lineaire
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AgroParisTech Bases du Modele Lineaire J.J. Daudin, E. Lebarbier, C. Vuillet
Voir
- esperance de ??
- estimation des parametres de l'esperance
- variable explicative
- meme loi
- modele lineaire
- variabilite du materiel experimental
- ligne dans le meme ordre
- statistique
Bases
J.J.
du
Daudin,
AgroParisTech
Mode`le
E.
Lebarbier,
Line´aire
C.
Vuillet
Tabledesmati`eres
1 Introduction 2Estimationdesparam`etres 2.1Estimationdesparame`tresdel’esp´erance...................... 2.1.1M´ethodedesmoindrescarre´s......................... 2.1.2Casou`r=p . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ 1 2.1.3Caso`ur < p........e.s´....e´neilarrevn´gesosulr:e´apiritno+1 2.1.4Combinaisonslin´eairesinvariantes...................... 2.2Proprie´te´sdesestimateursdeθ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2.3 Loi des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b 2.3.1 Loi deθ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2Combinaisonslin´eairesdesθk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Estimation de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 R´sidus . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Estimation deσ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2.4.3 Loi deσ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4D´ecompositiondelavarianceetcoefficientdede´termination........ 2.5 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Testsd’hypothe`ses 3.1Testsurunparame`tre................................. 3.2Testd’unecombinaisonlin´eairedesparam`etres................... 3.3Testdemod`elesemboıˆte´s............................... 3.3.1Mode`lesemboˆıt´es................................ 3.3.2Testdemod`elesemboıˆt´es........................... 3.3.3Visiong´eom´etriquedutest.......................... 4Notiond’orthogonalite´ 4.1D´efinitiondel’orthogonalite´.............................. 4.1.1 Cas de 2 facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2Casge´n´eral:Orthogonalite´d’unpland’exp´eriencesvis`avisd’unmode`le 4.1.3CasdelaRe´gressionmultipleetdel’analysedelacovariance....... 4.2Propri´et´esd’undispositiforthogonal......................... 4.3Sommesdecarr´esajuste´es:TypeI,IIetIII..................... 4.3.1Re´duction................................... 4.3.2 Sommes d ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e carres . . . . . . . .
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3 5 5 5 9 9 12 13 14 14 14 14 14 15 15 15 17 19 19 19 20 20 20 21 23 23 23 24 26 26 27 27 27
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4.4Moyennesajuste´es...................................28 Limitesetextensionsdumod`elelin´eaire30 5.1Analysedesre´sidus...................................30 5.2G´eneralisationsdumode`leline´aire..........................31 ´ 5.2.1Mod`elesnonlin´eaires.............................31 5.2.2Mode`leline´airege´ne´ral............................31 5.2.3Mode`lelin´eaireg´ene´ralis´e...........................31 5.3Lesvariablesexplicativessontale´atoires.......................32 5.3.1Casdelare´gression..............................32 5.3.2Mod`elesmixtes.................................32 Annexes 33 θb1−abqb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.1 Loi de ( )/V(θ1 .) . 6.1.1 Loi sousH0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.1.2 Loi sousH1 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6.2 Loi de(SCM1−SCM0)/(p1−p0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 33 SCR1/ν1 6.2.1 Loi sousH0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.2.2 Loi sousH1 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6.3Th´`emedeCochran.................................34 eor 6.3.1 Lemme 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3.2 Lemme 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3.3D´emonstrationduthe´ore`medeCochran...................35 b 6.4Espe´ranceetmatricedevariance-covariancedeθ 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . b 6.4.1Esp´erancedeθ 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . b 6.4.2 Matrice de variance-covariance deθ 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5Esp´erancedelasommedescarr´esr´esiduelle.....................37 6.6D´emonstrationduth´eor`emedeGauss-Markov....................37
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Chapitre 1
Introduction
Lemod`elelin´eaire1noftemadse´exp’esdueiqerm´secneiralysl’anpourntalstunluat´rsedese base´essurdumate´rielexpe´rimentalvariable.Ilsupposedeshypoth`esesmath´ematiquesassez contraignantes,maisiladeuxqualite´smajeures: –ilestcapabledebienrepre´senterlaplupartdesexp´eriences, –sasimplicite´permetdebienconnaıˆtresesproprie´t´es. Decefaitsonemploiesttre`sfre´quentetiljoueunrˆolepivotdanstoutelamode´lisation statistique.Lafac¸ondontontraitelesmod`elesplusge´ne´rauxende´couledirectement.Ilestdonc essentieldebiencomprendrecemod`elefondamentaldelastatistique. Lemod`elestatistiquedebasequel’onutilisepouranalyseruneexpe´rienceou`l’on´etudiesur nt´niuenuvarislesnsd’atio´presexeatelmineensvairarelbope´yen fonction de facteurs qualitatifs ouquantitatifs(appele´saussivariables explicativesri:e´ecruts’),pe yi=mi+ei
` ou i´irinu’ee´term´elodstenulentale, •xpe me mi=f(xi1, xi2, . . . , xip+1naeceed)ts’lse´preyivsedairaavalruelesblnddoncdequid´epe explicativesx1, x2, . . . , xp+1.fvsecederiae´nilnaticplexesbliaaraisombinnecoestuives. •eiavarantllit´iabitae´demuirleesr´ueide,llpeapee´lerrei,ruulcnestunevairbaellae´taioer expe´rimental,celledueauxvariablesexplicativesnonincluesdanslemode`le,etcelle due aux erreurs de mesure.
L’e´criturematricielledumod`eleest:
Y=X θ+E,
(1.1)
` ou •Y(n,1)contient les valeurs deypour lesnemtnedss.L’ordrederangepxeire´ecneyiest arbi-traire.C’estunvecteurale´atoire. •E(n,1)raaielvslae´lbseientcontudlee´iserrstaio,ran`eleumodlesdemeˆmelsnadsee´gueeqdror Y. LesEiepdnnaetnoitdne´meloisetdemˆesN(0, σ2). 1.Cepolycopie´estfortementinspir´edeceluideC.Duby[3]dontnousavonsreprisleplanetcertainesparties.
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